＞f(0)=psin0+qcos0+rcos0=q+r
f(π/2)=psinπ/2+qcosπ/2+rcos2*π/2=p-r
f(3π/2)=psin3π/2+qcos3π/2+rcos2*3π/2=-p-r
0≦q+r≦1、-r≦q≦1-r・・・・・・(1)
0≦p-r≦1、r≦p≦1+r・・・・・・・(2)
-1≦p+r≦0、-1-r≦p≦-r・・・・(3)
I=∫(0→k)f(x)dx=∫(0→k){psinx+qcosx+rcos2x}dx
=p∫(0→k)sinxdx+q∫(0→k)cosxdx+r∫(0→k)cos2xdx
=p[-cosx](0→k)+q[sinx](0→k)+r[(1/2)sin2x](0→k)
=p(1-cosk)+qsink+r(1/2)sin2k、
sink=0すなわちk=πのときはI=p(1-cosk)=2p(一定)となり
題意に反するので、sink≠0として、
q={I-p(1-cosk)-r(1/2)sin2k}/sink
定数を置き換えて、1-cosk=A、(1/2)sin2k=B、sink=C
q=(I-Ap-Br)/C
(1)に代入して
-r≦(I-Ap-Br)/C≦1-r
(ア)sink=C＞0、0＜k＜πの場合
-Cr≦(I-Ap-Br)≦C(1-r)=C-Cr
Ap+(B-C)r≦I≦C+Ap+(B-C)r
Iの最大値はAp+(B-C)rの最大値+C
Iの最小値はAp+(B-C)rの最小値
Ap+(B-C)r=hとおいてp=-(B-C)r/A+h/A、r-p平面で
(2)(3)を満たす範囲での直線p=-(B-C)r/A+h/Aのp切片h/A
の最大値と最小値は、0＜k＜πで
-(B-C)/A=(C-B)/A={sink-(1/2)sin2k}/(1-cosk)の大きさを
調べると、0＜(C-B)/A≦1となるので、直線が点(-1/2,1/2)
を通るときにh/Aは最大、点(-1/2,-1/2)を通るときにh/Aは
最小となる。
直線が点(-1/2,1/2)を通るときは
h/A=p+(B-C)r/A=1/2+(C-B)/2Aからh=(A-B+C)/2
Iの最大値は(A-B+C)/2+C=(1/2)(A-B+3C)
=(1/2){1-cosk-(1/2)sin2k+3sink}
=(1-cosk-sinkcosk+3sink)/2
直線が点(-1/2,-1/2)を通るときは
h/A=-1/2-(B-C)/2A
h=(-A-B+C)/2=(1/2){-(1-cosk)-(1/2)sin2k+sink}
=(-1+sink+cosk-sinkcosk)/2
Iの最小値は(sink+cosk-sinkcosk-1)/2
(イ)sink=C＜0、π＜k＜2πの場合
C-Cr≦(I-Ap-Br)≦-Cr
(B-C)r+Ap+C≦I≦(B-C)r+Ap
Iの最大値はAp+(B-C)rの最大値
Iの最小値はAp+(B-C)r+Cの最小値
Ap+(B-C)r=hとおいてp=-(B-C)r/A+h/A、r-p平面で
(2)(3)を満たす範囲での直線p=-(B-C)r/A+h/Aのp切片h/A
の最大値と最小値は、π＜k＜2πで
-(B-C)/A=(C-B)/A={sink-(1/2)sin2k}/(1-cosk)の大きさを
調べると、-1≦(C-B)/A＜0となるので、直線が点(-1/2,1/2)
を通るときにh/Aは最大、点(-1/2,-1/2)を通るときにh/Aは
最小となる。
直線が点(-1/2,1/2)を通るときは
h/A=p+(B-C)r/A=1/2+(C-B)/2Aからh=(A-B+C)/2
Iの最大値は(A-B+C)/2=(1/2){1-cosk-(1/2)sin2k+sink}
=(1-cosk-sinkcosk+sink)/2
直線が点(-1/2,-1/2)を通るときは
h/A=-1/2-(B-C)/2A
h=(-A-B+C)/2=(1/2){-(1-cosk)-(1/2)sin2k+sink}
=(-1+sink+cosk-sinkcosk)/2
Iの最小値は(sink+cosk-sinkcosk-1)/2+sink
=(3sink+cosk-sinkcosk-1)/2
以上から
0＜k＜πの場合
Iの最大値：(1-cosk-sinkcosk+3sink)/2
Iの最小値：(sink+cosk-sinkcosk-1)/2
k=πの場合は解無し
π＜k＜2πの場合
Iの最大値：(1-cosk-sinkcosk+sink)/2
Iの最小値：(3sink+cosk-sinkcosk-1)/2
