数学III 不等式の証明

質問

次の不等式を証明してもらえると助かります。

∫(0→１) cos(π/2・x^p)dx ≧pπ/2(2p＋1) ただし、p≧0
　また、証明には sinπx≧πx(1－x) (ただし、0≦x≦1) が成りたつことを用いてよい。

ちなみに、x^pはｘのp乗ということです。　・は普通に掛け算してください。（x^pは分子にきます）

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞∫(0→１) cos(π/2・x^p)dx ≧pπ/2(2p＋1) ただし、p≧0
＞　また、証明には sinπx≧πx(1－x) (ただし、0≦x≦1) が成りたつことを用いてよい。

0≦x≦1より、０≦ｘ^p≦１だから、
sinπx≧πx(1－x)より、
sin（πｘ^p）≧πｘ^p（１－ｘ^p）
２sin（πｘ^p／２）cos（πｘ^p／２）≧πｘ^p（１－ｘ^p）
sin（πｘ^p／２）cos（πｘ^p／２）≧（π／２）ｘ^p（１－ｘ^p）
０≦ｘ^p≦１より、０≦πｘ^p／２≦π／２で、
０≦sin（πｘ^p／２）≦１だから、
cos（πｘ^p／２）≧sin（πｘ^p／２）cos（πｘ^p／２）≧（π／２）ｘ^p（１－ｘ^p）より、
cos（πｘ^p／２）≧）≧（π／２）ｘ^p（１－ｘ^p）
∫(0→１) cos(π/2・x^p)dx ≧∫(0→１)（π／２）ｘ^p（１－ｘ^p）ｄｘ
右辺＝∫(0→１)（π／２）（ｘ^p－ｘ^2p）ｄｘ
　　＝（π／２）［｛1/(p+1)｝ｘ^(p+1)－｛1/(2p+1)｝ｘ^(2p+1)］［０→１］
　　＝（π／２）ｐ／（ｐ＋１）（２ｐ＋１）
よって、
∫(0→１) cos(π/2・x^p)dx ≧(π/2)p/(p+1)(2p+1)

でどうでしょうか？
計算したらこのようになりました。違ってたら教えて下さい。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

ferien

ANo.2です。　少し追加です。

＞０≦ｘ^p≦１より、０≦πｘ^p／２≦π／２で、
＞０≦sin（πｘ^p／２）≦１，０≦cos（πｘ^p／２）≦１（追加）　だから、
＞cos（πｘ^p／２）≧sin（πｘ^p／２）cos（πｘ^p／２）≧（π／２）ｘ^p（１－ｘ^p）より、

で訂正お願いします。

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

難しく考えずに積分してみるんじゃないなかな？

場合わけがあるのか。

Ｐ＝０　のときと　それ以外。

Ｐ＝０のときは、ｘ＝１だから、積分しようにもｃｏｓは関係なくなるね。

こっちは問題ないと思うんだけど。

後は普通に積分だけだと思うけど。

書き方なんだけど、間違っちゃいけないから補足してあるのはいいとして。

　＃これはいいことだよ＾＾；

∫（０→１）　｛ｃｏｓ「π／（２×　ｘ＾ｐ）」｝ｄｘ

と書いておいたほうが確実かな？　好みだけどね～。最後は手書きすればいいんだから。

ｃｏｓ（１／ｘ）　の積分ができないといわれるのならそれは問題だけど。

　＃教科書に載ってるからちゃんと調べよう♪

泥臭くできそうなところまで行ってみてみて？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)