解析学の問題

質問

(1) sin(2i - 5π/6)

(2) (-1 + i√3)^(-1+2i)

以上の２問の値を求めてください。

また、詳しい解答・解説をお願いします。m(__)m

回答No.3

alice_44

(1) は、A No.2 で ok.

(2) は、log の分枝を意識する必要がある。
　　　　虚数乗の値は、一意ではない。

(-1 + i√3)^(-1 + 2i)
= e^ log( (-1 + i√3)^(-1 + 2i) )
= e^( (-1 + 2i) log(-1 + i√3) )
= e^( (-1 + 2i) log( 2e^((2/3)πi) ) )　　　　　; -1+i√3 を極座標変換
= e^( (-1 + 2i) {(log 2) + (2/3)πi + 2πin} )　; n は任意の整数
= e^( (-1+2i){(log 2)+(2/3)πi} -2πin -4πn )　; [*]
= e^((-1+2i){(log 2)+(2/3)πi})・e^(-4πn)　　　; [**]

[*] から [**] への変形で、
指数関数の周期性から -2πin は消えても
-4πn は式に残ることがポイント。
式の値に、e^(-4πn) 倍の不定性が残る。

最下行の左半部分は、
e^( (-1+2i){(log 2)+(2/3)πi} )
= e^( -(log 2) -(4/3)π +2(log 2)i -(2/3)πi )
= (1/2){e^(-(4/3)π}・e^( {(log 4)-(2/3)π}i )　　　　; 極形式
= (1/2){e^(-(4/3)π}{ cos((log 4)-(2/3)π) + i sin((log 4)-(2/3)π) }
= (1/4){e^(-(4/3)π}{-(cos log 4)+(sin log 4)√3}
　+ i (1/4){e^(-(4/3)π}{-(sin log 4)+(cos log 4)√3}　; 直交形式

これに、e^(-4πn) が掛かることを忘れずに。

お礼

困っていたので助かりました。ありがとうございます。

回答No.2

info22_

(1) sin(2i - 5π/6)
=sin(2i)cos(5π/6)-cos(2i)sin(5π/6)
=(i/2)(e^2-e^(-2))*(-√3/2)-(1/2)(e^2+e^(-2))*(1/2)
=-i(√3/4)(e^4-1)/e^2 -(1/4)(e^4+1)/e^2

(2) (-1 + i√3)^(-1+2i)
={2e^(i2π/3)}^(-1+2i)
={2^(-1+2i)}*e^{(i2π/3)(-1+2i)}
=(1/2)*(e^(iln(4)))*e{-4π/3-i2π/3}
=(1/2)*{e^(2πln(4)/3)}*e^(-i4πln(4)/3)
=(1/2)*4^(2π/3)*e^(-i4πln(4)/3)
={2^((4π/3)-1)}e^(-i4πln(4)/3) ...極座標形式
={2^((4π/3)-1)}{cos(4πln(4)/3)-isin(4πln(4)/3)}
...複素直交座標形式

お礼

解答ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

Tacosan

自分で計算してはどうでしょうか.