三角関数を含む関数の最大値、最小値

質問

0≦θ<2πのとき、関数y=3sin^2θ+2√3*sinθcosθ+cos^2θの最大値、最小値と、そのときのθの値を求めよ。
この問題の解答解説では、0≦θ<2πのとき、-π/6≦sin(2θ-π/6)<4π-π/6を用いて、sin(2θ-π/6)=1のとき、上記の式の範囲において、2θ-π/6=π/2、5π/2。よってθ=π/3、4π/3。
この流れで2θ-π/6をなぜ求められるのか、仕組みがどうしてもわかりません。どなたか解説お願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

y=3sin^2θ+2√3*sinθcosθ+cos^2θ
=3sin^2θ+√3sin2θ+(1-sin^2θ)
=1+2sin^θ+√3sin2θ
=1+2(1-cos2θ)/2+√3sin2θ
=2+√3sin2θ-cos2θ
=2+2sin(2θ-π/6)

最後の変形は正弦と余弦の合成公式を利用
asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)*sin(θ+Φ)
証明、使い方は教科書にのっていると思うので確認してください。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

本題ではないけど, たぶん解説にこんなことは書いてないと思う.

方針自体はいくつかありそうだけど, 個人的には因数分解したい.

補足

よろしければおすすめの解法を教えていただけませんか？