ローラン展開でわからない問題！！

質問

複素関数のローラン展開で次の問題の解き方がわかりません・・
f(z)=1/(z-1)((z-3)^2)
をz=1まわりの0<|z-1|<2で展開したいのですが、(z-3)^2の部分をどう処理すればいいかわかりません！
二乗がなければ出来ますが・・・。助けてください(T_T)

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

あれ、申し訳ない。
計算違い。

Σ[k=0→∞] (1/k!)・(k+1)!・(-1)~k・(1-3)~(-k-2)・(z-1)~k
だから、No.1 のマイナスは不要でしたね。

x = (z-1)/2 のような変数変換は、
収束半径の翻訳を間違えなければ
いつでも可能だけれども、
今回は、特に必要ないですよ。
それで計算が楽になる訳でもないし。

No.1 は、定義どおりに展開してから、
文字列が簡単になるように整理したのだけれど、
そのとき計算違いをしてしまった。

回答No.4

alice_44

なぜ、No.1 と同一内容の回答を？

お礼

すみません！もう一度、最初からの回答をお願いしているわけではなく、途中の導出および結果についての確認をとりたいという意味の回答です。

確認１．領域の書き換えをして式変形をするのはOKなのか（単純に収束半径なのでOKであるとは思いますけれど・・）

確認２．(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・(-(z-1)/2)~kは(z-3)~(-2) は(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・((z-1)/2)~kの間違いではないでしょうか？？←マイナスはいらないのでは？という意味です。

の二点だけ宜しくお願いします。。

回答No.3

info22_

g(z)=1/(z-3)^2をz=1のまわりにテーラー展開して
(z-1)で割ればローラン展開が得られます。

g(1)=1/4
g'(z)=-2/(z-3)^3,g'(1)=1/4
g''(z)=6/(z-3)^4,g''(1)/2!=3/16
g^(3)(z)=-4!/(z-3)^5,g^(3)(1)/3!=1/8
g^(4)(z)=5!/(z-3)^6,g^(4)(1)/4!=5/64
...
g^(n)(z)=(-1)^n*(n+1)!/(z-3)^(n+2),g^(n)(1)/n!=(n+1)/2^(n+2)

g(z)=(1/4)+(1/4)(z-1)+(3/16)*(z-1)^2+(1/8)(z-1)^3+(5/64)*(z-1)^4+...
+(n+1)/2^(n+2)*(z-1)^n+...
f(z)=g(z)/(z-1)
=(1/4)/(z-1)+(1/4)+(3/16)*(z-1)+ ...
後の項は、g(z)の各項を(z-1)で割って求めます。

回答No.2

alice_44

ひょっとして、
(z-3)~2 が f の分子側にあるのなら、
((z-1)-2)~2 = (z-1)~2-4(z-1)+4 を
(z-1) で割るだけです。

回答No.1

alice_44

普通に、1/(z-3)~2 を z=1 中心に
テイラー展開すればよいです。

(d/dz)~k (z-3)~(-2) = (k+1)!・(-1)~k・(z-3)~(-k-2)
より、
(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・(-(z-1)/2)~k
となります。

1/(z-1) を掛ければ、ローラン展開完成です。

お礼

ああ～そうかそうか！ありがとうございます！！

ところで確認なんですけどもう一度回答いただけますでしょうか？

>(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・(-(z-1)/2)~k
の導出は、領域| z-1 |<2の両辺に、1/2をかけて、| (z-1)/2 |< 1というふうに領域を書き換えて、導出したものですよね？？

これは数学的に問題はないはずですよね？？

補足

あ、すみません、もう一点。

(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・(-(z-1)/2)~k

ってもしかして(z-3)~(-2) = Σ[k=0→∞] ((k+1)/4)・((z-1)/2)~kの間違いでしょうか？？