高校数学3 積分の問題

質問

以下の画像に示す不定積分の問題がわかりません。
部分分数分解をして考える問題だと思うのですが、どのようにして分解すればいいのかわからないのです。
もし部分分数分解をしないで解く方法もあれば（高校の範囲で）それもあわせて教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

No.1,No.3です。

ANo.1の補足質問の回答

>では、ふつう部分分数分解をするときは、分解した分数で、分子は分母より次数が1つ下がった式をおけば分解できる、という認識は正しいですか？

その通りです。

部分分数分解される式の分子が分母より1次以上次数が低いことが条件です。
(x^3+x^2+2x-1)/(x(1+x^2))や
(x^4+2x^3+x+3)/(x(1+x^2))
のような場合は予め商を取り出して、分子の次数を分母より1次以上低くしてから、部分分数分解を行います。
この操作も、広い意味では部分分数分解の手順に含まれます。
(x^3+x^2+2x-1)/(x(1+x^2))
=1+((x^2+x-1)/(x(1+x^2)))
=1+1/x +(2x+1)/(x^2+1)

(x^4+2x^3+x+3)/(x(1+x^2))
=x+2 -(x^2 +x-3)/(x(1+x^2))
=x+2 +3/x -(4x+1)/(x^2+1)

また、分母の因数が２乗以上になっている場合は「分子は分母より1次低いということ」には当てはまりません。分母より分子の次数が低いことには変わりありません。(詳しくは高校１年の教科書の部分分数分解のところを復習下さい。)
例）
(2x+1)/((x^3)*(x^2+1)^4)
=(1/x^3) +(2/x^2) -(4/x)+((4x-2)/(x^2+1))
+((3x-2)/(x^2+1)^2)+2((x-1)/(x^2+1)^3)
+((x-2)/(x^2+1)^4)

お礼

なるほど、詳しい解説ありがとうございます。
部分分数分解に対する理解が深まりました。
ありがとうございます。
余談ですが、高校1年生の教科書（数学Ｉ／Ａ）には部分分数分解を解説しているページはありませんでした。数学2.3.B.Cについても同様でした。
おそらくなにか指導要領が変わってなくなってしまったと思われます。

回答No.5

info22_

No.4の

>ANo.1の補足質問の回答
は
ANo.3の補足質問の回答
でした。
訂正いたします。

回答No.3

info22_

No.1です。

ANo.1の補足質問の回答

>どのように考えればそのように部分分数分解ができるのでしょうか。

部分分数分解は高一の数学で習うと思いますが

>∫1/{x(x^2+1)}dx=∫{(1/x)-(x/(x^2+1))}

通常
　1/{x(x^2+1)}=(a/x)+((bx+c)/(x^2+1)) ...(★)

のように分解できますから、これが恒等的に成り立つようにa,b,cを定めてやれば良いです。
分母を払って
　1=a(x^2+1)+x(bx+c)=(a+b)x^2+cx+a
これも恒等的に成り立つことからxの各次の係数を比較して
　1=a
　0=c
　0=a+b → b=-1
これらのa,b,cを(★)の式に代入すれば

　1/{x(x^2+1)}=(1/x)-(x/(x^2+1))

と部分分数分解が求まります。

補足

回答ありがとうございます。
なるほど、よく理解できました。

1/{x(x^2+1)}=(a/x)+((bx+c)/(x^2+1))

のようにしてa.b.cを求めればよいのですね。

私は、

1/{x(x^2+1)}=(a/x)+{b/(x^2+1)}

とおいてa.bを求めようとしていたのですが、これを整理すると

1=ax^2+bx+a となって

a=0
b=0
a=1

というおかしなことになってしまってわからなくなっていました。

わたしがb/(x^2+1)とおいていたところを(bx+c)/(x^2+1)とおけば解決するということですね。

では、ふつう部分分数分解をするときは、分解した分数で、分子は分母より次数が1つ下がった式をおけば分解できる、という認識は正しいですか？

回答No.2

alice_44

y=(xの2乗) で置換してから
部分分数分解に持ち込むことを勧める。

補足

回答者様のいうようにyに置き換えようとしましたが、
y=x^2より
x=±√y
となってしまい、うまく置換できないのですが、どのようにすればよいのでしょうか。

回答No.1

info22_

部分分数分解して積分公式を使うだけ。

∫1/{x(x^2+1)}dx
=∫{(1/x)-(x/(x^2+1))}
=log|x|-(1/2)log(x^2+1)+C (Cは積分定数

補足

会頭ありがとうございます。
ただ、どのように考えればそのように部分分数分解ができるのでしょうか。