【高校数学】数学III:不定める積分についての問題

質問

不定積分についての問題です。
自分の解答が心配だったので質問しました。
宜しく御願いします。

問１不定積分∫(sinx+xcosx)dxを求めよ。

問２問１の結果を用いて、∫(sinx+xcosx)logxdxを求めよ

宜しく御願い致します。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

問題１の C を残したまま問題２をやってみると、
∫(sin x + x cos x)(log x)dx
= ∫(x sin x + C1)’ (log x)dx
= (x sin x + C1)(log x) - ∫(x sin x + C1)(1/x)dx + C2
= (x sin x)(log x) + (C1)(log x) - ∫(sin x)dx - ∫(C1/x)dx + C2
= x(sin x)(log x) + (cos x) + C2
となって、C1 は消えます。だから、結果的には「無視」しても ok。
∫(C1/x)dx が、部分積分によって ∫(C1)(log x)' dx から生じた
ことを思えば、アタリマエの話です。その理屈を理解して行うのなら
構わないということです。

どの行に積分定数が要るかについては、実にサマザマな立場があります。
補足のように、不定積分がひとつも入ってない行にだけ付ければよい
という考えもあれば、イコールを跨いだら必ず付けるという考えもある。
どちらが正解という訳でもないけれど。

必ず付ける流儀でいけば、
∫(sin x + x cos x)(log x)dx
= ∫(x sin x + C1)’ (log x)dx + C2
= (x sin x + C1)(log x) - ∫(x sin x + C1)(1/x)dx + C3
= (x sin x)(log x) + (C1)(log x) - ∫(sin x)dx - ∫(C1/x)dx + C4
= x(sin x)(log x) + (cos x) + C5
あたりが正解かもしれないから、上記の私のスタイルは
ずいぶん不徹底ではあります。

回答No.2

alice_44

答えは ok です。

問題１
部分積分が積の微分法の逆操作であることを念頭に、
補足の計算過程を振り返ると、もしかしたら、
途中計算抜きの一発で答えを思いつけるようになる
かもしれません。
sin x + x cos x が 1 sin x + x cos x に見えれば、
こっちのものです。

問題２
問題１の積分定数を「無視していい」という説明に
やや不安が残りますが、解ってやっているのであれば、
それでかまいません。「無視していい」理由は、
問題１の積分定数を式に入れたまま、部分積分の続きを
やってみれば、定数が掛かった項が結果的に相殺される
ことで確認できます。

特に間違いは無い と思います。
敢えて言えば、計算途中の式に +C を書き忘れている
箇所があるけれど、気にすることでもないでしょう。

補足

回答ありがとうございます。
「無視していい」の部分は、自分で勝手にC=0(Ｃはなんらかの定数だから)としてしまったからです。
まずいですか？

それと、＋Ｃが抜けているのはどこでしょうか？

回答No.1

alice_44

貴方の将来が心配なので、補足要求してみます。
その心配な御自身の解の計算過程を、補足に書いてください。
間違いの有無や注意点などをコメントしてみたいと思います。
解いたが心配→誰かの解答を と考えるクセは、早く直さないと
数学だけでなく人生を左右してしまう危険があります。

補足

回答ありがとうございます。
いそいでいたもので、つい結果ばかり求める質問になってしまいました。
以下に示します。
問１
∫(sinx+xcosx)dx=∫sinxｄｘ＋∫xcosxdx
=∫sinxｄｘ+∫(cosx)ｘｄｘ＝∫sinxdx＋∫(sinx)’ｘ・ｄｘ
＝∫sinxdx+xsinx－∫sinx・１ｄｘ＝－cosx+xsinx+cosx+C
=xsinx+C
問2　問１より
∫(sinx+xcosx)loｇｘｄｘ＝∫(xsinx)’logxdx
=xsinxlogx－∫xsinx・1/x・ｄｘ＝xsinxlogx－∫sinxdx
=xsinxlogx+cosx+C

＊問１の結果の中のC(積分定数)は、問２では無視？しとよいと思うので、なしで計算しました。

どう？でしょうか