数学 不定積分

質問

次の問題について教えてください。

{√(x＋2)}/x(x＋1)の不定積分

写真のように、t＝√(x＋2)にして、変形できたのですが、これはここから部分分数分解をするというのであっているのでしょうか、？

項の数がすごく増えてしまうのですが、、
他の方法あったら教えていただきたいです。

回答No.5

gamma1854

恒等式 1/{(A - 2)(A - 1)}=1/(A - 2) - 1/(A - 1). はOKですか？
ここで、A が x^2 であれば上記はそのまま、
1/{(x^2 - 2)(x^2 - 1)} = 1/(x^2 - 2) - 1/(x^2 - 1).
です。
ここから、1/(x^2 - 1) = (1/2)*{1/(x-1) - 1/(x+1)}. により１つづつ処理できます。こういう意味で書いています。いずれにしても、計算しやすい順に進めてください。
-----------------
I=∫dx/(x^2-4x-5) では、x-2=3*secφ なる置換により、(1/3)*∫dx/sinφ.
です。

回答No.4

gamma1854

どんな順序でも構いません。

補足

x^2-4x-5など(一例)の因数分解できるものも、因数分解してから部分分数分解やらなくても良いということですか、？

回答No.3

gamma1854

もちろんです。

回答No.2

gamma1854

1/{(A - 2)(A - 1)}=1/(A - 2) - 1/(A - 1).
ではありませんか。
----------------
不思議であれば、右辺を「通分」して整理してみてください。

補足

t^2-1は、(t-1)(t＋1)と分解してから部分分数分解しなくてもいいのですか？

回答No.1

gamma1854

変換後の被積分関数は、
2t^2/【(t^2 - 2)(t^2 - 1)】
=2t^2*【1/(t^2 - 2) - 1/(t^2 - 1)】
=2 + 4/(t^2 - 2) - { 2 + 2/(t^2 - 1) }
=4/(t^2 - 2) - 2/(t^2 - 1).
ここから１つづつ積分します。

補足

4行ある式の、1行目から2行目の【】の中は、どのようにやりましたか？部分分数分解ですか？