力学 ポテンシャルが存在するかどうか

質問

大学１年の力学の問題です。

Ｆｘ= 3yx^2 + 4x
Fy= x^3 + 2y^2
についてポテンシャルが存在するかどうかを調べ、存在するなら求めよ

とあるのですが、ポテンシャルは力を距離で積分したものですよね？ということは、ポテンシャルが存在する＝積分できる　ってことですか？
この場合は積分区間が指定されていないということは、自分で積分定数を決めるということですか？
また、ポテンシャルが存在しないとは具体的にどういう時をいうのですか？

教科書などは理解したつもりですがいまいちポテンシャルについて分かっていないみたいです。すみません。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

この場合は1次元ではないので、ポテンシャルが位置のみの関数として定義できるためには、
積分が経路によらない事(つまり微小仕事が完全微分(全微分)であること)が必要。

そのためには、微小仕事が

dW = fx dx + fy dy

であるとき、

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

が成りたつ事が必要十分条件。

お礼

補足にも答えていただきありがとうございました。

補足

力Fが保存力である⇔ポテンシャルが存在する
ということですか？

回答No.3

hitokotonusi

>力Fが保存力である⇔ポテンシャルが存在する

そのとおりですが、保存力を知っていてこの質問というのは少々解せないですね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

noname_deadbeef

二次元（以上）のベクトル場に対してポテンシャルが存在するとは、
一つのポテンシャル関数を偏微分することで元のベクトル場を復元することができる、ということです。
Fx=-∂V/∂x
Fy=-∂V/∂y
となるVを求める必要があります。
FxとFyそれぞれを単純に積分すると結果は一致しませんよね？でも積分定数をうまく決める（ヒント：定数ではなく関数にするのです。偏微分すると0になる関数）と一致させることができます。

＞ポテンシャルが存在しないとは具体的にどういう時をいうのですか？

下り坂をずっと下って行ったら元の場所に着いた、ら変ですよね？エネルギー保存則的に。
でも台風の下で追い風を受け続けながら進んで行ったら元の場所に着いた、というのはありえるわけです。
この場合の風の力は重力と違ってポテンシャルで表すことができない、無理やり表そうとすると螺旋階段的な多価関数になったりすることになります。

お礼

ポテンシャルがない場合についてなんとなくわかりました
ありがとうございます。