保存力とポテンシャルについて。

質問

力Fx=f(x,y),Fy=g(x,y)について、ポテンシャルを(0,0)→(x,0)→(x,y)の経路に沿って求めるにはどうすればいいのですか?また保存力であることを示すにはどうすればいいのですか？わかる方がいれば教えて下さい。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

U=-∫F・dr=-∫(Fxi＋Fyj)・(dxi＋dyj)
=-∫Fxdx＋Fydy=-∫fdx＋gdyです。
(0,0)→(x,0)→(x,y)という経路で積分するには、
まずx軸にそってxまで積分、次にその(x,0)点からy軸にそって(x,y)まで積分しますから、x軸に沿う積分ではdy=0,y軸に沿う積分ではdx'=0と置けばいいです。
また、x軸に沿う積分ではy'=0をFxに代入,y軸に沿う積分ではFyにx'=xを代入して積分を行います。
なお、紛らわしいので積分変数にはダッシュをつけさせてもらいました。(0,0)→(x,0)→(x,y)のxとyは定数ですが、f(x,y)やg(x,y)のなかのxとyは変数だからです。結果は
-∫f(x',0)dx'[x'=0～x]-∫g(x,y')dy'

保存力であることを示すには、別の経路で(0,0)→(x,y)まで積分したものが、ご質問の経路と等しくなる
ことを示せばいいです。保存力のする仕事は、経路によらないからです。例えば(0,0)→(0,y)→(x,y)とか。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.2

grothendieck

二つの経路C1とC2に沿った線積分が等しいということは、C1と -C2を合成してできる閉曲線に沿った線積分が0になるということです。

　∫c(Fxdx+Fydy) = 0 　(cはC1と -C2を合成してできる閉曲線)

グリーンの定理より

　∫c(Fxdx+Fydy) = ∬(∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)dS

ここで右辺は閉曲線の囲む領域上の面積分です。これが任意の領域上で成立するから

　∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 0

が保存力であるための条件です。

お礼

回答いただきありがとうございました。まだ少し格式が高いので、もう少し勉強してからこの回答の意味を理解したいと思います。