保存力になるための条件

質問

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。４点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。（つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をＷ(1),経路A→D→Cに沿った仕事をＷ(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、６２ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

Ｗ(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)　　←(1)
　　 =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy　←(2)
Ｗ(2)=Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx　←(3)
　　 =FxΔx+FyΔy+(Fxをyで偏微分)ΔxΔy　←(4)
ここでFx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(Fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン
高次の微少量は無視した・・・らしいです。
Ｗ(1)－Ｗ(2)={(Fyをxで偏微分)-(Fxをyで偏微分)}ΔxΔy　であり
この力が保存力であれば、Ｗ(1)=Ｗ(2)となることから、
(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)　が導かれる。
逆に(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。
という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で
(1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。

先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗)
皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。

回答No.1

ahoahoaho3 · ベストアンサー

(1) の
第二項は Fy(x+Δx,y)Δy
ですよね単位は仕事量なので。

xについての一次までのテイラー展開で

Fy(x+Δx) = Fy(x)+d(Fy(x))/dx *Δx

となるので、(1)に代入すれば良いと思います。

テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。

お礼

修正方法がわからなくて・・・、ご指摘通りです。
テイラー来ましたねー、けっこう頻繁に登場するんですね(汗)
ホント助かりましたm(__)m　ガチで感謝しています。