力学のポテンシャルなどの問題です。

質問

力学のポテンシャルなどの問題です。
半径Rpの球対称の天体を考える。天体に固定された座標系は慣性系であるとする。天体の中心からの距離をR、半径Rの球内に含まれる質量をM(R)で表す。中心からの距離Rの位置での重力加速度の大きさ(絶対値)は
g(R)=GM(R)/R^2
という式で与えられる。天体の物質の密度が0≦R≦Rcではρc、Rc＜R≦Rpではρmに等しいとしよう。ここでρmとρcはそれぞれ正の定数である。Rp＜Rの領域は真空とする。

(1)この天体の重力加速度の大きさg(R)を0≦R≦Rc、Rc＜R≦RpおよびRp＜Rのそれぞれの領域で求めよ。解答はG、ρm、ρc、Rc、RpおよびRの内で必要なものを用いて表せ。

(2)無限遠R=∞を基準に取るとき、重力による単位質量の質点の位置エネルギー(ポテンシャル)Φを半径Rの関数として求めるためにはどのような定積分をすればよいか。定積分の式をg(R)、R、dR、∞および積分記号∫を用いて表せ。

(3)この積分の計算を実行してΦを0≦R≦Rc、Rc＜R≦RpおよびRp＜Rのそれぞれの領域で求めよ。解答はG、ρm、ρc、Rc、RpおよびRの内で必要なものを用いて表せ。
よろしくお願いします。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

この問題、詳細な式を示すのは困難なので、ガイドラインだけ、、

一般的に、「均一な密度を持つ”球殻”の内部空間は無重力状態になる」ということと、
「球表面での重力加速度は、球の全質量がその中心に集まっているものとして計算してよい」
のです。
つまり、半径Rの位置においての重力加速度は、半径Rの球内部の質量を計算すれば、それでOKで、R以上の外側からは何ら影響されないのです。

ヒントは、ここまで。あとは、、、頑張ってください。