電位

質問

つぎのおのおののように与えられたベクトル場V(F)=(Fx,Fy,Fz)の電位を求めよ。
V(F)はベクトルFを表す。

Fx=2Ax(y+z),Fy=A(x^2-y^2),Fz=A(x^2-z^2) 　Aは定数

電位φ(x,y,z)とします。
Fx=-(∂φ/∂x),Fy=-(∂φ/∂y),Fz=-(∂φ/∂z)
∂φ/∂x=-Fx=-2Ax(y+z)
φ=-2Ax(y+z)x+C(y,z) Cは積分定数
∂φ/∂y=-Fy=-A(x^2-y^2)
-A(x^2-y^2)=-2A(x^2)z+∂C/∂y

ここまでできるのですがここからがわかりません。
詳しい解説お願いします。

ちなみに参考書によると答えは、-A{(x^2)(y+z)-(y^3+z^3)/3}です。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

(0, 0, 0) に対する　X, Y, Z の電位を求める場合

(0, 0, 0)⇒（X,　0, 0)　⇒　(X, Y, 0) ⇒ (X, Y, Z)

という経路で積分すると、それぞれの積分では、x成分、y線分、z成分　の
積分になるので簡単になります。

電位＝-∫[0→X]2Ax(0 + 0)dx - ∫[0→Y]A(X^2 - y^2)dy - ∫[0→Z]A(X^2 - z^2)dy
= 0 - AX^2Y + AY^3/3 - AX^2Z + AZ^3/3 = -AX^2(Y+Z) + A(Y^3 + Z^3)/3

X, Y, Z を改めて、x, y, z に書き直せば

電位＝-Ax^2(y+z) + A(y^3 + z^3)/3 = -A{x^2(y+z) - (y^3 + z^3)/3}

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

spring135

∂φ/∂x=-Fx=-2Ax(y+z)　⇒　φ=-Ax^2(y+z)+C(y,z) (1)

このφを用いて

∂φ/∂y=-Fy=-A(x^2-y^2)=-Ax^2+∂C/∂y

Ay^2=∂C/∂y　⇒　C=Ay^3/3+D(x,z)　⇒　φ=-Ax^2(y+z)+Ay^3/3+D(x,z) (2)

このφを用いて

∂φ/∂z=-Fz=-A(x^2-z^2)=-Ax^2+∂D/∂z

Az^2=∂D/∂z　⇒　D=Az^3/3+E(x,y)　⇒　φ=-Ax^2(y+z)+A(y^3+z^3)/3+E(x,y) (3)

(3)と(1)を比較すると

C(y,z)=A(y^3+z^3)/3+E(x,y) 　⇒　Eはxによらない。　⇒　E(x,y)=E(y)

(3)と(2)を比較すると

D(x,z)= Az^3/3+E(y) 　⇒　Eはyによらない。　⇒　Eは定数

以上より

φ=-Ax^2(y+z)+A(y^3+z^3)/3+E　（Eは座標によらない定数）

参考書によると答えは定数Eが抜けており、間違いです。

一般に電位の0点は別途指定される必要があり、その考察が抜けている参考書によると答えは重大な過ちを犯しています。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

じゃなくて、ベクトル場と線素ベクトルの内責を
線積分して電位を求めるのです。

保存カ場(rotV=0)なら積分は積分経路に
依存しないので、計算に都合のよい経路を
選べばよいです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。