ポテンシャル

質問

質量mの物体がx軸上の区間(-a,a)をポテンシャルU(x)=a-√(a^2-x^2)のもとで運動しているとき、つり合いの位置からのずれがaに比べて小さいときの運動を求めよ

Fx = -(∂V/∂x) = -x/(√(a^2-x^2))
ここからどうすればよいのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.1

asdfqwre · ベストアンサー

F = - ∂U /∂x からはじめます。　F = m a なので
F = m d＾2x/dt＾２ = - x (a^2 - x^2)^(-1/2)
釣り合いの位置とは力の合計がゼロの事なので
F = 0 = -x(a^2-x^2)^(-1/2)　の式の解答、x＝0が釣り合いの位置になります。　
この釣り合いの位置からのすこしずれた時の力の値を求めるため∂U /∂x　をテイラー展開します。
釣り合いが小さいことを想定して、x＾2以上の値を切り捨てると
F = m d＾2x/dt＾２　 = -x /a 　
d^2 x/ dt^2 = - 1/(ma) x になります。　
これは単振動の式（F = - kx　の様な）と同じなので運動も単振動のものと同じになります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。