ベクトル方程式の質問です。

質問

△ABBOに対し、OP↑＝sOA↑＋tOB↑　とする。十推移s、t　が次の条件を満たすとき、点Pno存在範囲を求めよ。

問　２s＋t＝１

s’＝２s、t’＝t　
s＝１/2s'、　t＝t’

s’＋t’＝１　のとき
p↑＝sa↑＋tb↑
　　＝１/2s'・a↑　＋　t’・b↑
　　＝s’・１/2a↑　＋　t’・b↑

このあたりまで自力でといたのですが、答えが線分A’Bになるのですが、なぜそうなるのかわかりません。
この問題の解き方もいまいち理解できません。

解き方と意味を教えてくださると大変助かります。
解答お願いします。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>△ABBOに対し、OP↑＝sOA↑＋tOB↑　とする。十推移s、t　が次の条件を満たすとき、点Pno存在範囲を求めよ。
>問　２s＋t＝１

以下、ベクトル OA を A (など) と略記。(始点 O を省略)

「条件」 2s+t=1 から s=(1-t)/2 。
これを使えば、
　P = sA+tB = (1-t)(A/2) + tB　　…(1)
なる直線 P 。

(1) を変形。
　P = (A/2) + t(B - A/2)　　…(2)
ベクトル (B - A/2) の始点は A/2 、終点は B 。
それを t 倍して (A/2) を足したベクトル P の終点は、A/2 と B を通る直線上にある。
(もしくは、t=0 で P=A/2, t=1 で P=(B - A/2) だから…)

s, t がともに非負なら、A/2 と B の間に終点をもつベクトル。

回答No.3

178-tall

自己矛盾を訂正。最後の一行です。

(1) を変形。
　P = (A/2) + t(B - A/2)　　…(2)
ベクトル (B - A/2) の始点は A/2 、終点は B 。
それを t 倍して (A/2) を足したベクトル P の終点は、A/2 と B を通る直線上にある。
(もしくは、t=0 で P=A/2, t=1 で P=B だから…)

お礼

ご丁寧に解答ありがとうございます！
わかりやすかったです！

回答No.1

zacky93141

線分A'Bになるということはs>0 t>0という条件がついてますかね？
それを仮定してみますと

s+t=1 すなわち
k+(1-k)=1 (s=k t=1-k)
と表せて、
p↑＝k・a↑+(1-k)・b↑
という関係を満たすならば

p↑＝b↑ + k・(a↑-b↑)
となる。

これはk>0 t>0ならこれは線分A'Bをさす。（s>0 t>0がないなら直線A'B）

以上のように解けるので、この問題の場合
p↑=s・a↑+t・b↑
2s+t=1
から、まず
s'+t=1となるように式変形することを考える。