ベクトルの存在範囲

質問

OP→=sOA→＋tOB→と表されるPの存在範囲は、0≦s≦1,0≦t≦1のとき,
OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。
OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
0≦(s＋t)≦2より、OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。
でよろしいでしょうか？？

回答No.5

oyaoya65

#1,#4です。
＞固定して考えるのはわかるのですが、どう言葉で表せばいいのでしょうか？
すでに解答は#4の以下の部分に骨子が書いてあります。
これを解答用に書き換えていただけばよいと思いますがお分かりになりませんか？

＞第一段階として
＞tを0≦t≦1の範囲で固定し、sを0≦s≦1の範囲で変化させてPの範囲（線分）を求める。
＞tOB→ = OE→
＞OE→ + OA→ =OF→
＞で決まる点E,Fを定義すれば、第一段階のPの存在範囲は
＞線分EFになります。
＞第二段階としてsを0≦s≦1の範囲で変化させると、線分EFが平行移動します。平行移動して覆う領域がP点の存在範囲になります。
＞線分EFが平行移動で覆う領域がOAとOBを２辺とする平行四辺形の辺を含むその内部ということになります。

回答No.4

oyaoya65

#1です。
A#1の補足です、質問の式
＞OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
が正確に書かれていませんので判断に迷います。
質問が正確に書かれていないため、
問題が２題あるのか、
問題と解答なのか判断しかねたため
問題が2題あると解釈し
（１）OP→=sOA→＋tOB→
（２）OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
の2題あると判断し回答しました。
＞OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
この式も括弧の括り方が正確でなく
OP→=(s＋t)・{sOA→ ＋ tOB→/(s＋t)}
と判断しました。
この式の括弧をはずしたのが
OP→=(s＋t)・sOA→ ＋(s＋t)・ tOB→/(s＋t)
　　=(s＋t)・sOA→ ＋tOB→
とA#1の回答となっています。
↑A#1の補足の質問の回答です。
質問者さんの質問が問題１題だけで他は回答だとしたら問題と解答の区別をはっきり書いて頂き、かつ
＞OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
この式も正確に書いてあれば正しく解釈できたかと思います。
２問題あると解釈して解答していますので、もし１題だとすれば、私の２題目（２）を別問題として練習問題とお考えください。

質問が１題だけとすれば、
解答はわざわざ
OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
0≦(s＋t)≦2より、
とする必要もなく、
第一段階として
tを0≦t≦1の範囲で固定し、sを0≦s≦1の範囲で変化させてPの範囲（線分）を求める。
tOB→ = OE→
OE→ + OA→ =OF→
で決まる点E,Fを定義すれば、第一段階のPの存在範囲は
線分EFになります。
第二段階としてsを0≦s≦1の範囲で変化させると、線分EFが平行移動します。平行移動して覆う領域がP点の存在範囲になります。
線分EFが平行移動で覆う領域がOAとOBを２辺とする平行四辺形の辺を含むその内部ということになります。

質問をお書きになるときは、誰がみても正しく解釈できるように書いていただけるといいですね。
問題と解答がはっきりしない書き方でなく、私が考えた解答は...などと初めていただけば良かったかと思います。
>OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
の式の書き方も括弧不足ですね。これがそもそも質問の解釈が間違えられる原因です。式は誤解を受けないように正しく書くようにしてくださいね。

#2,#3の方は１題の問題と捉えた場合の解答をされていますが
>OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
は式の正確さを欠き
>OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→)/(s＋t)
と解釈し書き換えて見えますね。
>0≦(s＋t)≦2より、
この式も良くないですね。
最初にtまたはsのどちらかを固定し他方を変化させる。
次に固定した方を変化させるという
A#1で私が回答した２段階変数変化法で考えることが有効な方法かと思います。

なお、#3が指摘されているように
>OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→)/(s＋t)
のように変形することで、s=t=0でないと仮定していることになりますので、この場合を別途考慮しないとPの存在範囲に点Oが除かれてしまいますので、解答が不十分になります。s=t=0の点も含むよう場合を取り上げる必要がありますね。

補足

返信ありがとうございました。
結局
＞OP→=sOA→＋tOB→と表されるPの存在範囲は、0≦s≦1,0≦t≦1のとき,
OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。

を示すにはどうすればよいのでしょうか？？
固定して考えるのはわかるのですが、どう言葉で表せばいいのでしょうか？

回答No.3

kabaokaba

質問の意味を捉えるのになやんでしまいました(^^;;
＃No.1さん，No.2さん，
＃一見正反対のお答えにも見えますし
＃また，OAとOBは平行じゃなくて，
＃ともに0ではない（つまり一次独立）であるという
＃仮定も入ってますね

(A)
>OP→=sOA→＋tOB→と表されるPの存在範囲は、
>0≦s≦1,0≦t≦1のとき,
>OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。

を示す論拠として

(B)
>OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
>0≦(s＋t)≦2より、

という意味なんですね
(A)は正解，ただし論拠としての(B)は間違え
ってことです．

(A)を示すにはNo.1さんの「一方を止めて考える」
という方法が有効です．
tをとめると，tOBはOBの「途中」で
sOAを加えると，PはtOBとsOBのなす平行四辺形の
「頂点」になるわけです．sを0から1まで動かすと
平行四辺形の「内部」の線分になるわけです
今度はtを動かすと直線がずずーーっと動いて
平行四辺形を「掃く」わけです．

厳密にはこれでは必要性しか示してないので
十分性「平行四辺形の内部と周上の点Pは必ず
OP=sOA＋tOB (0≦s≦1,0≦t≦1)と表せる」
というのも示せばよいでしょう
＃これは簡単なはず．

==================================
ぶっちゃけた話，この問題は
OA=(1,0)，OB=(0,1)だけで考えて理解できれば
実際上はよいです．
このときは，元の問題で示すことは
{(s,t) | 0≦s≦1,0≦t≦1}は正方形であること
なのですが，これは明らかです
一般に場合は，ベースになっている座標系そのものが
「斜めで，縦横の長さが違う座標系」
なんだと理解すれば
直観的には明らかでしょう
＃実際，一次変換を使えば，(1,0)(0,1)の場合に
＃帰着できます

一次独立な二つのベクトルは
ぜーんぶ(1,0)，(0,1)とみなして
座標計算だけですませるという
受験テクニックもあります

補足

皆さん返信ありがとうございました。
＞一次独立な二つのベクトルはぜーんぶ(1,0)，(0,1)とみなして座標計算だけですませるという受験テクニックもあります

どういうことですか？？
もっと詳しく教えていただけないでしょうか？？

回答No.2

quantum2000

Ｐの存在範囲は，「ＯＡ，ＯＢを２辺とする平行四辺形の周および内部である．」（*）
は正解です．説明としては，

ｓＯＡ→の終点をＳとすると，０≦ｓ≦１のときは終点Ｓは辺ＯＡ上にあり，
ｔＯＢ→の終点をＴとすると，０≦ｔ≦１のときは終点Ｔは辺ＯＢ上にあります．

ですから，ＯＰ→（＝ｓＯＡ→＋ｔＯＢ→）の終点Ｐは辺ＯＳ，ＯＴを２辺とする平行四辺形
ＯＳＴＰ（またはＯＴＳＰ）の頂点にあるわけです．

そして，この平行四辺形はいつでも元の平行四辺形（*）の中に含まれているか，
または一致していますから，結局，

終点Ｐが存在するのは平行四辺形（*）の内部および周上のどこか，
ということになります．

なお，
ＯＰ→＝（ｓ＋ｔ）｛（ｓＯＡ→＋ｔＯＢ→）／（ｓ＋ｔ）｝，０≦ｓ＋ｔ≦２　　（**）
という式から，正解を導いているところは，
式としては間違いではありませんが，答案としては「説明不足」と思われます．

つまり，（**）の式において，
｛（ｓＯＡ→＋ｔＯＢ→）／（ｓ＋ｔ）｝
というベクトルは，その終点が線分ＡＢを ｔ ： ｓ に内分する点になっていますから，
（ｓ＋ｔ）｛（ｓＯＡ→＋ｔＯＢ→）／（ｓ＋ｔ）｝
というベクトルは，そのベクトルのｓ＋ｔ倍のベクトルということになります．

ところが今，０≦ｓ＋ｔ≦２　だから，
「ｓ＋ｔ倍のベクトルの終点は，ＯＡ，ＯＢを２辺とする平行四辺形の周および内部にある．」
としているようですが，ここが問題だと思います．

これがなぜ言えるのでしょうか？
ｓとｔの値によっては，元の平行四辺形（*）からはみ出ませんか？
ｓ＋ｔ＝１である，とかは使えませんよ！　０≦ｓ＋ｔ≦２　からなぜ言えますか？

結果的には言えるので間違いではないですが，答案としては「説明不十分」なので，マルはもらえないのではないかと思いますよ．

回答No.1

oyaoya65

＞0≦s≦1,0≦t≦1のとき,
＞OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。

正解です。

＞OP→=(s＋t)・(sOA→＋tOB→/s＋t)
＞0≦(s＋t)≦2より、OA,OBを2辺とする平行四辺形の周および内部である。

正しくないです。
OP→=s(s＋t)OA→＋tOB→
tを固定すると
t≦(s＋t)≦t+1,0≦s≦1から
0≦s(s＋t)≦t+1となります。
tを0≦t≦1の範囲で固定してPの範囲を図示してみてください。PがOA→に平行な線分（長さt+1）になりますね。
次にtを0→1まで変えて上記の線分がどう変化していくか考えてみてください。
線分が移動して覆う領域がP点の存在範囲になります。
つまり、OAとOBを2辺とする平行四辺形をOACBとし、BC→の延長上に(OB+1)BC→＝BD→となる点Dをとると、Pの存在範囲は台形OADBの辺上およびその内部ということになるかと思います。

確認して確かめてみてください。

補足

＞OP→=s(s＋t)OA→＋tOB→
これは、どこから持ってきた式でしょうか？？