ベクトルについて

質問

ベクトルと平面図形の問題に取り組んでいるのですが、よく分かりません。
次の問題なのですが、解答と解説をしていただけないでしょうか。

平面上の3定点O,A,Bが、|OAベクトル|＝1、|OBベクトル|＝√3、OAベクトル・OBベクトル＝－1を満たしている。
同一平面上で、∠APB＝90°となる動点Pを考える。
OPベクトル＝sOAベクトル＋tOBベクトル(s,tは実数)と表すとき、sとtの間に成り立つ関係式を求めよ。
また、三角形OPAの面積の最大値を求めよ。

以上です。どうかお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　ベクトルは消えてしまうのですか？
ベクトルの内積はちゃんと分かってますか？
大サービスで、馬鹿丁寧に

(AP→)(BP→) = 0
左辺 = ((s - 1) (OA→) + t (OB→))(s (OA→) + (t - 1) (OB→))
= s(s-1) (OA→)(OA→) + (st + (s-1)(t-1)) (OA→)(OB→) + t(t-1) (OB→)(OB→)
= s(s-1) |OA→|^2 + (st + (s-1)(t-1)) (OA→)(OB→) + t(t-1) |OB→|^2
= s(s - 1) - (st + (s-1)(t-1)) + 3t(t-1)
（∵　(OA→)(OA→) = |OA→|^2 = 1, (OB→)(OB→) = |OB→|^2 = 3, (OA→)(OB→) = -1 )
= s^2 - 2st + 3t^2 - 2t - 1

悪いけど、これのどこが分からないのかが理解できないので、ベクトルの内積ぐらいは理解してから質問してください。

お礼

すいません！
色々と勘違いしていました。
基本も理解していない状態で、質問してすいませんでした。
参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.2

kumipapa

∠APB = 90°ってことは、(AP→)(BP→) = 0

(AP→) = (OP→) - (OA→) = (s - 1) (OA→) + t (OB→)　・・・ (1)
(BP→) = (OP→) - (OA→) = s (OA→) + (t - 1) (OB→)　・・・ (2)

だから、これら (1),(2) を (AP→)(BP→) = 0 に代入すれば
s^2 - 2st + 3t^2 - 2t - 1 = 0　・・・ (3)
を得る（私が計算間違いしてなければ）。

三角形 OPA の面積は
△OPA = (1/2)√{(|OA→||OP→|)^2 - ((OA→)(OP→))^2}
なので、これを計算すると t の非常に簡単な式になって、△OPAの面積の最大値を求めるには、|t| の最大値を求めればよいことが分かる。
t がとりえる値の範囲は、(3) を満たす実数 s, t が存在する範囲であるから、(3) を s の二次方程式とみなして、その判別式より求められる。

ただの計算問題です。
分からないところがあれば、まず教科書を見直しましょう。それでもどうしても分からなければ、どこが分からんのか具体的に質問されたし。

補足

学習不足すいません！教科書見直します。

…あの、どうして(1),(2)を代入したら　s^2 - 2st + 3t^2 - 2t - 1 = 0　となるのでしょうか？
ベクトルは消えてしまうのですか？
申し訳ありませんが、詳しく解説をしていただけませんでしょうか。

回答No.1

info22

このサイトでは質問者さんの解答をぜんぜん何も書かないで問題を丸投げすると削除対象になります。質問者さんが分かっている所を補足に書いて、その上でどこが分からないがを具体的に質問して下さい。

ヒント）
(OP→)=s(-1,0)+t(1,√2)=(t-s, t√2)
(OP→)⊥(OA→)の時最大
s=t=(1+√3)/2,(OP→)=(0,(√6+√2)/2)
Max(△OAP)=(1/2)*1*(√6+√2)/2= …

後は自分でどうぞ.

お礼

参考になりました。
ありがとうございます。

補足

すいませんでした！

APベクトル＝(s-1)OAベクトル＋(t)OBベクトル
BPベクトル＝(s)OAベクトル＋(t-1)OBベクトル
と、おいて
APベクトル・BPベクトル＝０
に代入した後から止まってしまってわかりません。