ベクトルの定義です・・

質問

3点O,A,Bが1直線上にないとき平面OABができる。この平面OAB上の任意の点Ｐに対して
→ 　　→ 　→
OP=sOA+tOB となる実数s,tがただ1組存在する。「3点O,A,Bが1直線上にない」とする。これは
→ → 　→→ 　　　　 →　 　→　　　　　→ →
OA=a ,OB=bとすると「a≠0、b≠0でありa//b でない」
と同値である。さらにこれは
　 → →→
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」と同値である・・・＊

とかいてあったのですが、＊のところの「同値である」がいまいち分からないんです・・　教えてください！！

回答No.18

eatern27 · ベストアンサー

ちょっと考えたみたのですが、

"x="とか"ｔ="や"a→=" とか"p→="の形にしようと思って初めて"(ベクトル)方程式"と呼ぶのではないでしょうか。

αa+βb=0 ⇔α=β=0
では、a→=とか、b→=の形にしようと思ってないから、方程式ではない。
という事でしょうかねぇ。

お礼

御礼が遅くなってしまいまして大変申し訳ございませんでした(T^T)いろいろとありまして・・毎回丁寧に本当に親切に答えていただいてもらってほんっとーに助かっています！！これからもこりずにどうか宜しくお願いします！！本当にごめんなさいです（Ｔ-Ｔ）

回答No.17

eatern27

＞このように考えること自体おかしいですね
考えると言う事、自体は悪くないですよ。いいセンスしていると思います。
でも、今気が付いたのですが、今まで間違いだと指摘した理由を無視しても、考え方がいけなかったようです。それは、

＞・・・このp→を0→にするとs=t=0となりs+t≠1となるのでそのとき・・・「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」と同値である

これは「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」の証明ですよね？　
＞p→を0→にするとs=t=0となり
の部分で、「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」が成り立つという事を使っていませんか？
「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」が成り立つ事の証明で「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」が成り立つと言う事を使えば、確実に「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」が成り立ちますよね。

この説明をすれば、すぐ分かったと思うのですが・・・。

＞この問題での「αa→+βb→=0 」はベクトル方程式のことをいっているわけではないんですね
ベクトル方程式の定義を知らないのですが、おそらく。
"この問題での"「αa→+βb→=0 」はベクトル方程式ではありません。
方程式の定義は、おそらく、
ある式を満たす集合
みたいな感じだと思います。ベクトル方程式はこれのベクトルの場合だと思います。
で、"この問題での"「αa→+βb→=0 」では、この式を満たすa→とかb→の集合を考えているわけではないですよね。
だから、ベクトル方程式ではないという理由だと思います。

bell-bellさんの
「まさにベクトル方程式がなりたつとき、3てんは一直線上にない（・・？）んだから、そのベクトル方程式がなりたたないときのことを考えてはいけません」
という理由は違う気がします。
それは、「なりたたないときのことを考えてはいけません」
の部分とベクトル"方程式"ではないという事がつながらない気がするからです。

方程式はあくまでも"集合"です。「解なし」(空集合)などという「答え」もあるからです。
y＝x+2かつ2ｙ＝2x＋1
これは解なしですが、立派な連立"方程式"です。

方程式の定義を知らないので、もしかしたら、bell-bellさんの理由でもいいかも知れませんが・・・。

回答No.16

eatern27

簡単に言えば、
考えられる全ての世界では、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」は成り立たないけれど、
「a≠0、b≠0でありa//b でない」という世界においては、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立つという事です。

補足

なるほどー！！わかりました！！そういうことですね！！あと、補足5に『※「Ａベクトル」を「Ａ→」と書く
教科書に「2点Ａ(a→)、B(b→)を通る直線をＬとするとＬのベクトル方程式は、直線上の点をP（p→)とするとP→=s・a→+t・b→、s+t=1」とあったのですが、このp→を0→にするとs=t=0となりs+t≠1とな
るのでそのとき「p→は直線AB上にない」(?)つまり「3点P,A,Bが一直線上にない」
(?)ということを使って、「3点P,A,Bが一直線上にない」とき、これは
PA→=a→,PB→=b→とすると「α・a→+β・ｂ→=0→　⇔α=β=0」と同値である　と
いえるのかなー？とおもったのですが・・どうでしょう？？』と書いたのは、このように考えること自体おかしいですね・・だいたい問題ではOA(→)＝a(→)、OB(→)＝b(→)としたときのO、A、Bが一直線上にないようにするときのことを考えているんだから、（αa→+βb→=0 をベクトル方程式だと考えるなら）まさにベクトル方程式がなりたつとき、3てんは一直線上にない（・・？）んだから、そのベクトル方程式がなりたたないときのことを考えてはいけませんよね・・だからこの問題での「αa→+βb→=0 」はベクトル方程式のことをいっているわけではないんですね・・？？　　と頭を冷やしてそういう結論に達したのですが・・また変なことを考えてますか？

回答No.15

eatern27

＞では「⇔」は必要十分条件の記号ではないということ・・・ですか？？
すいません。#14はいろんな意味に取れましたね。忘れてください。
「⇔」は必要十分条件の記号です。

あなたの言いたい事は

「αa+βb=0 ⇔α=β=0」で「⇔」が使われているけど
αa+βb=0とα=β=0は同値じゃない。それなのに「⇔」を使っていいのか?

という事ですか?基本的には#12に書いた通りなのですが、

別の例をあげると、(いい例かは分かりません)
『f(x)=0⇔x=1』は成り立つ。

ここで使った『f(x)=0⇔x=1』は問題ありますか?
『f(x)=0⇔x=1』の意味は、「f(x)=0とx=1は同値である。」つまり、どんなxの関数f(x)を持ってきてもf(x)が0になる時はx=1の時のみであり、f(1)=0が必ず成り立つという意味です。
そんなわけないですよね。だから、『f(x)=0⇔x=1』は間違いです。

じゃあ、
f(x)=x-1の時、『f(x)=0⇔x=1』が成り立つ。

ここで使われている、
『f(x)=0⇔x=1』
というのは問題あると思いますか?
問題ありません。

でも、よく考えてみると同じ『f(x)=0⇔x=1』であるのに、前者は間違っていて、後者は正しい。何かおかしいと思いませんか?
おそらく、bell-bellさんはこういうでしょう。

「後者ではf(x)=x+1だと言っている。だから、何もおかしい事はない」

確かにそうです。でも、
後者の『f(x)=0⇔x=1』
この部分だけでは、f(x)=x+1だという事は一言も言っていませんよ。
だから、この部分だけ見ると前者と同じ様に成り立たないという事になってしまいます。

では、どうすればいいのかというと、後者は
「f(x)=x-1の時、『f(x)=0⇔x=1』が成り立つ。」
これで1つなのです。つまり、『f(x)=0⇔x=1』という状態では、f(x)=x-1という条件が抜け落ちているのです。だったら、付け足せばいいでしょう。
「f(x)=x-1⇒『f(x)=0⇔x=1』」・・・(*)
こう書けば
「f(x)=x-1であれば、『f(x)=0⇔x=1』が成り立つ」・・・(**)
という意味になります。
(実際のテストなどではf(x)=・・・、という事が書いてあれば、「f(x)=x-1⇒」みたいな事を書く必要はありません)

(*)の部分が(**)と言う意味だと分かれば
「a≠0、b≠0でありa//b でない」⇔「αa+βb=0 ⇔α=β=0」
も、それと同じ事です。
「⇔」というのは「⇒」も「←」(「⇒」を180度回転したもの)とに分けて考えればいいのです。
「a≠0、b≠0でありa//b でない」であれば、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立つ。
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が言えれば、「a≠0、b≠0でありa//b でない」が言える。

「αa+βb=0 ⇔α=β=0」の部分は「←」は常に言えますので、「⇒」を考えればいい事になります。対偶を考えると「α≠0またはβ≠0⇒αa+βb≠0」
つまり、 α、βが同時に0でなければ、αa+βbは0でないということです。

回答No.14

eatern27

＞a^2＞0⇔a≠0 　の「⇔」はa^2＞0ならばa≠0 　という意味で使った必要十分条件の記号ではないんですか
そうですよ。
で、何を聞きたいのでしょう?
＞「a＝0の時にa^2＞0とは言えない。だから、a＞0は間違いではないのか」
の何処がおかしいのか、がわかっていないのでしょうか?

「⇔」の前後にある事は常には成り立っている必要はなく、成り立っている時が少しでもあればよいのです。

補足

では「⇔」は必要十分条件の記号ではないということ・・・ですか？？わかってなくて・・ごめんなさい・・

回答No.13

eatern27

＃１２です。
質問で使われている「αa+βb=0 ⇔α=β=0」は
「αa+βb=0とα=β=0が同値である」、という意味ではないですよ。

「αa+βb=0とα=β=0が同値であると言えるならば」、あるいは
「(a≠0、b≠0でありa//b でないならば)αa+βb=0とα=β=0が同値であると言える」という意味ですよ。

回答No.12

eatern27

ちょっと、意味が分からないのですが、
a^2＞0⇔a≠0
これに対して
a^2＞0とは言えない場合がある。だから、a＞0は間違いだ
と指摘するのがおかしいのはわかったのでしょうか?

補足11で聞いている事は
a^2＞0⇔a≠0
に対して
「a＝0の時にa^2＞0とは言えない。」
という指摘をしたが
3点O,A,Bが1直線上にない ⇔a≠0、b≠0でありa//b でない ⇔「αa+βb=0 ⇔α=β=0」
に対する指摘は?という事でしょうか?
『「a=0またはb=0またはa//b」の時には「αa+βb=0⇔α=β=0」とは言えない』もしくは『「αa+βb=0⇔α=β=0」が言えない時には「a=0またはb=0またはa//b」となる』ということです。
これは＃8で説明した通りですね。

質問の意図と違うなら補足へ

補足

＞a^2＞0⇔a≠0 　の「⇔」はa^2＞0ならばa≠0 　という意味で使った必要十分条件の記号ではないんですか？？　　わかってなくて・・すみません・・

回答No.11

eatern27

#10です。
zabuzaburoさんのご回答が無いようなので、補足7について答えます。

＞割ってそれをたしたものが1になればそれはα＋β=1の場合であるとかんがえればいいのですか？
多分いいでしょう。
ただ、なれば、というよりは(点Ａと点Ｂが違う点であれば)確実になりますね。

＞補足5に書いたように考えればいいのでしょうか？
#9の通りです。

分からない事があれば、質問して下さい。

たいした回答ではないのですが、zabuzaburoさんの意図した事と違う可能性もあります。(私が勘違いしている可能性もあります)

補足

#9にありますが＞a^2＞0⇔a≠0
3x－2＝0⇔x＝1 の「⇔」は必要十分条件を表す記号ですよね？この記号で結ばれるものは＞
「a＝0の時にa^2＞0とは言えない。だから、a＞0は間違いではないのか。」
「x＝0などのように3x－2＝0が言えない場合がある。だから、3x－2＝0は間違いだと思います。」 のように言えないといけない気がするのですが・・ごめんなさい・・またこれも変な質問なのかも・・

回答No.10

eatern27

#9です。
たいした事はありませんが訂正です。
＞3x－2＝0⇔x＝1
これを
3ｘ-2=1⇔x＝1
あるいは
3x－2＝0⇔x＝2/3

と直して下さい。

回答No.9

eatern27

#8です。＞αa→+βb→=0 ⇔α=β=0は成り立たないような気がしてしまうのですが・・どこが違うのでしょうか
αa→+βb→=0 ⇔α=β=0
という命題は偽です。
どこが違うのでしょうかと聞かれると困ってしますのですが、
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」というのは「a≠0、b≠0でありa//b でない」と同じ様に条件の1つです。

例えば、aを実数として
a^2＞0⇔a≠0
3x－2＝0⇔x＝1
が言えますよね。
bell-bellさんはこれらにこのような指摘をしているようなものです。
「a＝0の時にa^2＞0とは言えない。だから、a＞0は間違いではないのか。」
「x＝0などのように3x－2＝0が言えない場合がある。だから、3x－2＝0は間違いだと思います。」

これはおかしな指摘だと言うようは分かりますか。
「a^2＞0」や「3x－2＝0」は条件であり、「成り立つ状況」を考えているのであって、「成り立たない状況」を除外をしているのです。

質問の場合に戻すと
3点O,A,Bが1直線上にない
⇔a≠0、b≠0でありa//b でない
⇔「αa+βb=0 ⇔α=β=0」
です。
ここでbell-bellさんはこのような指摘をされました。

「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立たない状況もある。だから、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」は間違いのような気がしてしまうのです。

この指摘の何がおかしいか分かりますか？
「a≠0、b≠0でありa//b でない」 ならば「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立ち
「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立つならば「a≠0、b≠0でありa//b でない」が成り立つ
とあるように「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が「成り立つ状況」を考えているのであって、「成り立たない状況」を除外をしているのです。

質問の場合では成り立たない状況(「a＝0かb＝0かa//b」が成り立つ状況)を除外するために「a≠0、b≠0でありa//b でない」という条件を加えているから、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立ち、
補足の場合(p→を0→に置換えたもの)では加えていないから、「αa+βb=0 ⇔α=β=0」が成り立たないのです。

それから、補足5についてですが、
平面上に任意の場所に点A、Bを取って、点Ｐを原点に取った場合を考えていますね。ところが、点Ｐを原点に取ると、点Ａ,Ｂ,Ｏすなわち点Ａ,Ｂ,Ｐが一直線上にある場合も考えられますよね。この時に、「3点P,A,Bが一直線上にない」という条件は使えませんよね。というか、「3点P,A,Bが一直線上にある」のだから。
もし、
＞このp→を0→にするとs=t=0となりs+t≠1となるのでそのとき「p→は直線AB上にない」(?)
＞つまり「3点P,A,Bが一直線上にない」(?) ということを使って・・・
という文に
「『点A,B,Oが一直線上にない』という条件を加えると」、という意味が含まれているならば
bell-bellさんの書いた通りです。
ただ、「s=t=0となり」という一文から、何の条件を加えなくてもs=t=0になる、という風に読み取れます。

ずいぶん長くなってしまってすいませんでした。

回答No.8

eatern27

＞sa→+tb→=0 としても、s=t=0となるとは限りません
具体例を示しましょう
例えばa→＝(1，1)、b→＝(2，2)のとき、
sa→+tb→=0→ とすると、s=t=0のときも、確かに成り立ちますが、s＝-2、t=1の時もs=2√3、t=-√3の時も、s=2k、t=-k(kは任意の実数)の時も成り立ちますよね。
一般的な例では
a→＝(x、y)、b→＝(kx、ky) の時、(kは任意の実数)
s=ik、t=-i(iは任意の実数)
を満たしていればsa→+tb→=0が成り立ちます。

a→＝(0,0)の時は
s=k、t=0であれば(kは任意の実数)
sa→+tb→=0が成り立ちます。

b→＝(0，0)の時も同様に
s=0、t=kであれば、sa→+tb→=0が成り立ちます。

このように
sa→+tb→=0を満たしているけれどs=t=0でない場合があるのです。
だからsa→+tb→=0⇒s=t=0が言えないのです。

＞a→//b→の時はp→は原点を通る直線となり、a→＝0→の時は、Aが原点にあると考えられます。
と書いたのは
直線ＡＢは原点を通ります。つまり、3点Ａ，Ｂ，Ｏは一直線上にあるから
「3点A,B,Pが一直線上にある⇔p→=sa→+tb→、s＋t=1となる実数s,tが存在する」
より、0→=sa→+tb→、s＋t=1となる実数s、tが存在する
よって、s=t=0でないs、tが存在する。
という事を言いたかったからです。

補足

＞sa→+tb→=0→ とすると、s=t=0のときも、確かに成り立ちますが、s＝-2、t=1の時もs=2√3、t=-√3の時も、s=2k、t=-k(kは任意の実数)の時も成り立ちますよね。
と考えれるのなら、αa→+βb→=0 ⇔α=β=0は成り立たないような気がしてしまうのですが・・どこが違うのでしょうか？？