高校数学ベクトル s+t+u=1の導出

質問

aベクトル、a→を(a)で表します。

三角形ABC内の任意の点Pは

(OP)＝s(a)+t(b)+u(c)
s+t+u=１
s>0 t>0 u>0

で表せるのはよく見ますが
どのように導出されたものなのですか？
Oは平面ABCと同一平面、別平面でもいいのかも気になります。

お願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞Oは平面ABCと同一平面、別平面でもいいのかも気になります。
原点Oは平面ABC上に【なくても構いません】。

考え方としては、「点Pは平面ABC上にある」は
「AP→は、AB→と AC→を用いて表すことができる。」ととらえることです。
つまり、
　AP→＝ αAB→+ βAC→

点Pが三角形ABC内にあるときは、0＜ α＜ 1、0＜ β＜ 1の条件がつきます。

そして、OP→は
OP→
＝ OA→+ AP→
＝ OA→+ αAB→+ βAC→

あとは、AB→、AC→を OA→、OB→、OC→で表せば係数の和が 1になることが示せます。

平面上の三角形ABCにおいて点Qが線分BC上にあるとき、
AQ＝ x*AB→+ y*AC→、x+y＝ 1、x＞ 0、y＞ 0

と表されることの 3次元バージョンと言えます。

お礼

納得です。ありがとうございました。