数III極限値（基礎）の質問です。

質問

いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。

数IIIの極限値の問題です。

「極限値 lim n[(1/n)+ {1/(n+1)^2} + {1/(n+2)^2} + ……… + {1/(2n-1)^2}] (n→∞です)　を求めよ。」です。

解き方が思いつかず困っています。
答えだけでなく、解法も載せてくださると幸いです。

いつもお手数をおかけして申し訳ありません。

宜しくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

[ ]内の初項は「(1/n)」でなくて「(1/n^2)」の間違いではないですか？

その通りなら、訂正した式で回答します。
積分法の最初で、区分求積法を習っていませんか？
これはその問題です。教科書を開いて区分積分法の左端型の場合の公式になるよう式を変形し、被積分関数と積分範囲を求めれば、後は積分するだけでしょう。

I=lim(n→∞) n[(1/n^2)+{1/(n+1)^2}+{1/(n+2)^2}+ … +{1/(2n-1)^2}]
=lim(n→∞) (1/n)*(n^2)[(1/n^2)+{1/(n+1)^2}+{1/(n+2)^2}+ … +{1/(2n-1)^2}]
=lim(n→∞) (1/n)*[{1/(1+(0/n))}+{1/(1+(1/n))^2}+{1/(1+(2/n))^2}+ … +{1/(1+((n-1)/n))^2}]

区分積分法の被積分関数f(x)は f(x)=1/(1+x)^2, 左端型のn項和なので、積分範囲は[0,1]となります。

従って
I=∫[0,1] {1/(1+x)^2} dx
=[-1/(x+1)][0,1]
=1-1/2
=1/2

お分かりになりましたか？

参考URL
ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kubun-kyuuseki-hou.html

(先頭にhを補えばURLが参照できます）

お礼

ご回答どうもありがとうございました。助かりました。

回答No.1

Tacosan

最初の 1項を除いた残りを積分に持ち込む.

お礼

ご回答ありがとうございました。