数III極限（基礎）の質問です。#2

質問

いつもお世話になりありがとうございます。数III極限の質問＃２です。
お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。

極限値を求める計算問題です。
「次の極限値を求めよ。
　　lim (1-cos(x))/x
　　x→0 　　　　　　　　　」です。

答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。

宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

L=lim{x→0} (1-cos(x))/x
0/0型なので
ロピタルの定理を使えば一発で終りです。
分子、分母を微分して
L=lim{x→0} sin(x)/1=0

ロピタルの定理を使わない解法なら
分子、分母に(1+cos(x))を掛けて
L=lim{x→0} (1-(cos(x))^2)/(x(1+cos(x)))
=lim{x→0} ((sin(x))^2)/(x(1+cos(x)))
=lim{x→0} {((sin(x))^2)/(x^2)}{x/(1+cos(x))}
=lim{x→0} {((sin(x)/x)^2)}{x/(1+cos(x))}
lim{x→0} sin(x)/x =1なので
L=lim{x→0} {x/(1+cos(x))}
=0/(1+cos(0))=0/2=0
となります。

お礼

2問ともご回答ありがとうございます。本当に助かりました。