角の二等分線の定理（内角）の証明について・・・

質問

角の二等分線の定理（内角）の証明についての質問です。

＜問題＞
⊿ABCにおいて、∠BACの二等分線と線分BCとの交点をDとするとき、AB：AC＝BD：DCが成り立つことを証明しなさい。

という問題で、証明が11種類あるらしいのですが、まったくわかりません・・・

わかるかたがいたら教えてください。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

一番楽なのは、三角形の面積を利用する証明法かな。
三角関数を使ってよければ、
△ABDの面積S１ = (AD・ABsin∠DAB)/2
△ACDの面積S2 = (AD・ACsin∠DAC)/2
なので、
S1:S2 = AB:AC　　　・・・(1)
　　（∵∠DAB=∠DAC）

で、底辺BCに注目すると、高さを仮にhとすると、
S1 = BD・h/2
S2 = DC・h/2
なので、
S1:S2 = BD:DC　　　・・・(2)

(1)と(2)より、
AB:AC = BD:DC

三角関数を使ってはダメというのならば、
Dをとおり、ACに平行な直線を引き、ABとの交点をEとする。
△AEDはAE＝EDの二等辺三角形
（∵EDとACは平行なので、∠ADB = ∠DAC　・・・錯角を利用
∠BDA = ∠DAC = ∠ADB　　∵∠BDAと∠DACは∠BACの二等分角だから)
EDとACは平行だから、
BE/AE = BD/DC　　　　・・・(3)
BE/AB = ED/AC = AE/AC　　（∵AE＝ED）
BE = AB・AE/ACなので、
これを、(3)に代入すると、
AB/AC = BD/DC
よって、
AB:AC = BD:DC

図を書くのが面倒くさいので全て頭の中でやっているから、どっか間違っているかもしれないけれど、こんな感じに証明できます。

お礼

細かく書いていただいてありがとうございました。

三角関数を使ってはいけなっかたので助かりました。

回答No.3

info22_

Googleで「角の二等分線の定理」+「証明」をキーワードにして検索すれば色々な証明法が見つかる！
(参考URL)
ttp://www.google.co.jp/#hl=ja&sclient=psy-ab&q=角の二等分線の定理+証明&oq=角の二等分線の定理&gs_l=hp.1.2.0l2j0i30l2.0.0.1.6960.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0...0.0...1c..11.psy-ab.f4Mg1fvz5Pw&pbx=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.45645796,d.dGI&fp=a8ebca95d9bd5d27&biw=984&bih=613

複数の証明が載ってるから見てごらん。
1]
ttp://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf
2]
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/angle.htm
3]
ttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/hojyosen1.htm
4]
ttp://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf
(頭にhを付けてサイトを参照下さい)

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/hojyosen1.htm

お礼

URLまではっていただいて・・・

ありがとうございました。

回答No.1

B-juggler

図形はどちらかと言うと苦手かな？
代数学の元非常勤。

えっと、図を描くこと！　これに尽きるよ。

多分三つの角は全て等しい　相似が取れないかな？

⊿ＡＢＤ∽⊿ＡＣＤについて。　←これちょっと順番なんか自信はないけれど。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

＞わかるかたがいたら教えてください。
これは必要ないね。わからない人は回答しないのだから。
１１種類もあるんだろうか？？

一つ自分で分かっていれば充分だよ？

お礼

元先生ですか！

すごいですね！あこがれます(*^。^*)

ご回答ありがとうございました。