内角の二等分線の定理(?)の証明を中学生レベルで

質問

今、高校で正弦定理を終え、その問題で内角の二等分線の定理の証明がありました。
正弦定理を使えば簡単に証明できたのですが、
先生の話によると中学生の知識で証明できるそうです。
平行四辺形をつくる…と言っていたのですが、
なかなか導けません。
証明の方法を教えてください。
お願いします。

参考に正弦定理をつかった証明を覚えている範囲で…

ΔABCで∠Aの二等分線とBCとの交点をDとする。

ΔABDでBD/sinA/2=AD/sinB
ΔACDでCD/sinA/2=AD/sinC

上の二式よりBD・sinB=CD・sinC
⇔CD/BD=sinB/sinC…(1)

ΔABCでAC/sinB=AB/sinC
⇔AC/AB=sinB/sinC…(2)

(1)(2)よりCD/BD=AC/AB
∴AB:AC=BD:CD

回答No.2

uyama33

２つの三角形の面積を２回計算すると
求まります。
１つは、BDやCDを底辺とする２つの三角形の面積
もう一つは、
ABとACを底辺とし、高さはＤから引いた垂線
これは角の２等分線だから合同な三角形が出来て同じ高さ
その面積比を求めて約分してください。

回答No.1

Trick--o--

http://www.altmc.jp/amc/practicum/primer/lessons/036/0217.html
三角形の相似を使った方法なら、これかとおもうが。

お礼

なるほど…
ありがとうございました。