因数分解の問題（高校1年）ですが。

質問

次の式を簡単にしなさい。
（a＋b＋c )(－a＋ｂ＋c)(a－b＋c)＋（a＋ｂ＋ｃ）（a－b＋ｃ）（a＋ｂ－ｃ）
＋（a＋ｂ＋ｃ）（a＋b－ｃ）（－a＋b＋ｃ）
－(－a＋b＋ｃ）(a－b＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）

途中式も含めて、どなたか教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

（a＋b＋c)(－a＋ｂ＋c)(a－b＋c)
＋(a＋ｂ＋ｃ)(a－b＋ｃ)(a＋ｂ－ｃ)
＋(a＋ｂ＋ｃ)(a＋b－ｃ)(－a＋b＋ｃ)
－(－a＋b＋ｃ)(a－b＋ｃ)(ａ＋ｂ－ｃ)
=(a＋b＋c){(－a＋ｂ＋c)(a－b＋c)
＋(a－b＋ｃ)(a＋ｂ－ｃ)}
＋(－a＋b＋ｃ){(a＋ｂ＋ｃ)(a＋b－ｃ)
－(a－b＋ｃ)(ａ＋ｂ－ｃ)}
=(a＋b＋c){c^2－(a－b)^2＋a^2－(b－ｃ)^2}
＋(－a＋b＋ｃ){(a＋ｂ)^2－ｃ^2－(a^2－(b－ｃ)^2)}
=a{c^2－(a－b)^2＋a^2－(b－ｃ)^2}
－a{(a＋ｂ)^2－ｃ^2－(a^2－(b－ｃ)^2)}
＋(b＋c){c^2－(a－b)^2＋a^2－(b－ｃ)^2}
＋(b＋c){(a＋ｂ)^2－ｃ^2－(a^2－(b－ｃ)^2)}
=a{c^2－(a－b)^2＋a^2－(b－ｃ)^2
　－(a＋ｂ)^2＋ｃ^2＋a^2－(b－ｃ)^2)}
＋(b＋c){c^2－(a－b)^2＋a^2－(b－ｃ)^2
　＋(a＋ｂ)^2－ｃ^2－(a^2－(b－ｃ)^2)}
=a{2c^2－(a－b)^2＋2a^2－2(b－c)^2－(a＋ｂ)^2}
＋(b＋c){－(a－b)^2＋(a＋ｂ)^2}
=a{2c^2－2(a^2＋b^2)＋2a^2－2(b－c)^2}＋(b＋c)(4ab)
=2a{c^2－b^2－(b－c)^2}＋2a(b＋c)(2b)
=2a{c^2－b^2－(b－c)^2＋2b(b＋c)}
=2a(4bc)
=8abc

お礼

ご回答ありがとうございました。
勉強になりました。

回答No.3

alice_44

a+b+c をカタマリと見るとよいのでは？
s = (a+b+c)/2 と置いて、

与式/8 = s(s-a)(s-b) + s(s-b)(s-c) + s(s-c)(s-a) - (s-a)(s-b)(s-c)
= (s^3-(a+b)s^2+abs) + (s^3-(b+c)s^2+bcs) + (s^3-(c+a)s^2+cas) - (s^3-(a+b+c)s^2+(ab+bc+ca)s-abc)
= 2s^3 - (a+b+c)s^2 + abc.

よって、
与式 = 8{ 2s^2 - 2s^3 + abc } = 8abc.

お礼

ご回答ありがとうございました。
お返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。
なかなか、思いつかない方法ですが、理解はできました。
ありがとうございました。

回答No.1

j-mayol

因数分解ではなく展開の問題のようですね。分からなければ１つずつ展開すればいいのですが・・・
途中まで・・
（a＋b＋c )(－a＋ｂ＋c)(a－b＋c)＋（a＋ｂ＋ｃ）（a－b＋ｃ）（a＋ｂ－ｃ）
＋（a＋ｂ＋ｃ）（a＋b－ｃ）（－a＋b＋ｃ）
－(－a＋b＋ｃ）(a－b＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
＝（a＋b＋c )(a－b＋c)(－a＋ｂ＋c＋a＋ｂ－ｃ)＋（a＋b－ｃ）（－a＋b＋ｃ）（a＋ｂ＋ｃ－a＋b－ｃ）
＝２ｂ｛（a＋b＋c )(a－b＋c)＋（a＋b－ｃ）（－a＋b＋ｃ）｝
＝２ｂ｛(a+c)^2-b^2+b^2-(a-c)^2}
ほとんど解答してしまいましたが、以下自分で仕上げましょう。

お礼

迅速なご回答ありがとうございました。