高１の因数分解問題

質問

次の式の因数分解をせよという宿題ですが、
問題を解く方法、過程について教えてください。
１問目　(a+b+c)3-a3-b3-c3
２問目　a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3
なお、１問目、２問目とも3の表示は3乗のことです。
指数の表示ができなかったものですから．．．
よろしくおねがいします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

因数分解は多少のひらめきが要求されるいわばパズルのようなもので、ひらめかないと手に負えない場合もなくはないのですが、一般的なやり方として
(1)特定の文字について整理する　(もっとも次数の低い文字について注目するとよい場合が多い)
(2)共通因数が出てきたら、その都度くくり出す
とすると道筋が見えてくることが多いものです。
なおべき乗の表示は^を使うのが一般的で、例えば「xの5乗」は「x^5」としておけば大体通じます。以下はその記法に従っています。

1問目
(a+b+c)^3 -a^3 -b^3 -c^3
=(a+b+c-a){(a+b+c)^2 +a(a+b+c) +a^2} -b^3 -c^3　←x^3 -y^3の公式を使った
=(b+c){(a+b+c)^2 +a(a+b+c) +a^2} -(b+c)(b^2-bc+c^2)　←x^3 +y^3の公式を使った
=(b+c){(a+b+c)^2 +a(a+b+c) +a^2 -b^2 +bc -c^2}　←共通因数をくくりだした
=(b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca +a^2+ab+bc+ca +a^2 -b^2 +bc -c^2)　←力づくで展開
=(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)
=3(b+c){a(a+c)+b(a+c)}　←もう一度共通因数をくくりだした
=3(b+c)(a+c)(a+b)
=3(a+b)(b+c)(c+a)

2問目
a(b-c)^3 +b(c-a)^3 +c(a-b)^3
=a(b^3 -3b^2 c +3bc^2 -c^3) +b(c^3 -3c^2 a +3ca^2 -a^3) +c(a-b)^3　←いったん展開
={ab^3-a^3b -3ab^2c+3a^2bc +3abc^2-3abc^2-ac^3+bc^3} +c(a-b)^3　←(a-b)でくくろう、との意図
=ab(b^2-a^2)-3abc(b-a)+c^3(b-a) +c(a-b)^3
=(a-b){-ab(a+b)+3abc-c^3+c(a-b)^2}　←因数(a-b)をくくりだすことができた
=(a-b){-ab(a+b)+3abc-c^3+a^2c+b^2c-2abc}
=(a-b){-c^3+a^2c+b^2c-a^2b-ab^2+abc)
=(a-b){-c(c^2-a^2)+b^2(c-a)-ab(a-c)}　←(a-b)でくくれたのだから、等価の(c-a)でもくくれると予想して式変形
=(a-b)(c-a){-c(c+a)+b^2+ab}
=(a-b)(c-a){-c^2-ac+b^2+ab}
=(a-b)(c-a){b^2-c^2+ab-ac}
=(a-b)(c-a){(b+c)(b-c)+a(b-c)}
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

どちらの問題も元の式がa,b,cについて対称式、すなわちa,b,cのどの二つを入れ替えても式は不変ですから、最後の式もそうなっている必要があります。このことはちょっとした検算に使うことができます。

念のためhaasan99さんご自身でも検算しながら読んでいただければ幸いです。

お礼

大変ご丁寧な説明をしていただき、ありがとうございました。わかりやすく、とても助かりました。本当にありがとうございました。