因数分解

質問

次の３つの因数分解の問題が、解き方が解らないため答えが出せません。解き方(途中式)を含めてわかる方、教えてください！

[問い１]
(b+c)(c+a)(a+b)+abc

[問い２]
(xy-1)(x-1)(y+1)-xy

[問い３]
(b+c)^3-(c+a)^3+(a-b)^3
※^3は３乗です

回答No.3

acacia7 · ベストアンサー

とりあえず２だけ・・

(xy-1)(x-1)(y+1)-xy
=(xyxy-xy+1-xy)-xyy+xyx-x+y
=(xy^2-2xy+1)+xy(x-y)-(x-y)
=(xy-1)^2+(xy-1)(x-y)
=(xy-1)(xy-1+x-y)
=(xy-1)(x-1)(y+1)

お礼

問い２はこの解き方が一番解りやすかったです☆
どうも有難うございました！

回答No.7

ss_miyabi

最後、３です

展開して
b^3+c^3-c^3-a^3+a^3-b^3+3bc(b+c)-3ca(c+a)-3ab(a-b)
=3(bbc+bcc-cca-caa-aab+abb)
=3{bb(c+a)+b(cc-aa)-ca(c+a)}
=3(c+a){bb+b(c-a)-ca}
=3(c+a)(b+c)(b-a)

回答No.6

wolv

１の別解：

S=a+b+c
とおくと、
与式＝(S-a)(S-b)(S-c)+abc
となり、（-a)*(-b)*(-c) の部分と +abc が消えるのでうまくいきそうです。

（解）
S=a+b+c
と置くと、
与式＝(S-a)(S-b)(S-c)+abc
= {S^2-(a+b)S+ab}(S-c)+abc
= S^3-(a+b)S^2+abS -cS^2+(a+b)cS-abc +abc
= S^3-(a+b)S^2+abS -cS^2+(a+b)cS
= S^3-(a+b+c)S^2+(ab+bc+ca)S
= S{S^2-(a+b+c)S+(ab+bc+ca)}
さらに、 S=a+b+c の関係に注意して変形すると、
与式 = S{S^2-S^2+(ab+bc+ca)}
= S(ab+bc+ca)
= (a+b+c)(ab+bc+ca)

回答No.5

i536

１．
A=a+b+cとおくと、
(A-a)(A-b)(A-c)+abc
=(A^3-(a+b+c)A^2+(ab+bc+ca)A-abc)+abc
=A^3-A*A^2 +(ab+bc+ca)A
=(ab+bc+ca)A
=(ab+bc+ca)(a+b+c)

２．
No.4を参照して下さい。

３．
b+c=A,c+a=Bとおくと B-A=a-bより、
(b+c)^3-(c+a)^3+(a-b)^3
=A^3-B^3+(B-A)^3
=A^3-B^3+(B^3-3B^2A+3BA^2-A^3)
=-3B^2A+3BA^2
=3AB(A-B)
=3(b+c)(c+a)(b-a)

回答No.4

ss_miyabi

２は

(xy-1)(xy-1+x-y)-xy
=(xy-1)(xy-1)+(xy-1)(x-y)-xy
={(xy-1)+x}{(xy-1)-y}
=(xy+x-1)(xy-y-1)

回答No.2

ss_miyabi

とりあえず、１だけ・・・

展開して
(aab+abb+abc)+(abc+bbc+bcc)+(aac+abc+acc)
=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)
=(ab+bc+ca)(a+b+c)

あとはまた気がついたら・・・

回答No.1

rrina

問い１
(b+c)(c+a)(a+b)+abc
=(bc+ab+c^2+ca)(a+b)
=abc+b^2c+a^2b+ab^2+ac^2+bc^2+a^2c+abc
=(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)
=(b+c)(a^2+(b+c)a+bc)
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)

問い３
b+c=A,c+a=Bとおくと
=A^3-B^3+(a-b)^3
=(A-B)(A^2+AB+B^2)+(a-b)^3
=(b+c-c-a)((b+c)^2+(b+c)(c+a)+(c+a)^2)+(a-b)^3
=(b-a)((b+c)^2+(b+c)(c+a)+(c+a)^2)+(a-b)^3
=(b-a)((b+c)^2+(b+c)(c+a)+(c+a)^2)-(b-a)(a-b)^2
=(b-a)[((b+c)^2+(b+c)(c+a)+(c+a)^2)-(a-b)^2]
大かっこを計算すると
=(b-a)[3c^2+3(bc+ac)+3ab]
=3(b-a)[c^2+(a+b)c+ab]
=3(b-a)(c+a)(c+b)

問い２がよくわからなくてすみません。
またわっかたらカキコしま～す！！

お礼

解りやすい説明有難うございました！
皆様から沢山教えていただいたんですが、問い１はrrinaさんの説明が一番解りやすかったです☆