因数分解の解き方を教えてください

質問

高校になってからの因数分解がなかなか理解できなく困っています。昨日も一時間考えてもどうしてもわかりませんでした。どうか教えてください。
問題　a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)

先生から頂いた解答のプリントに

　-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c) とありますがなぜこの途中式になるのかわかりません。

よろしくおねがいします。

回答No.4

summerfish · ベストアンサー

くどいやり方ですが、丁寧に解いていきます。

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
展開します。
＝ab^2-ac^2+bc^2-ba^2+ca^2-cb^2

aについて次数の高い方から並べていきます。
＝-ba^2+ca^2+ab^2-ac^2+bc^2-cb^2

aについて()でくくります。
＝（-b+c）a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-cb^2)

（-b+c）a^2の（）の中のマイナスを外に出します。
＝-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)

お礼

展開をするという事がわからず、1時間もかけてしまいました。　　　どうも楽な方に物事を運ぼうとしているみたいです。　　　　　　　　くわしい説明で＜＞でのくくり方も再確認できました。　　　　　　　初めてgooで質問させていただきましたが、とても詳しく説明いただきありがとうございました。

回答No.5

info22

＞　-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c) とありますがなぜこの途中式になるのかわかりません。

a,b,cのそれぞれについて二次の多項式ですから、その中の１つの文字（プリントではa）について
降べきの順に整理した式が解答のヒントに書いてあるわけです。
因数分解の定石です。
-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)＝-(b-c){a^2-(b+c)a+bc}
＝-(b-c)(a-b)(a-c)＝(a-b)(b-c)(c-a)
と因数分解が進みます。
文字が複数含まれる式の因数分解は一番次数の小さな文字について降べきの順に式を整理するのが因数分分解の定石ですので覚えて置いてください。

お礼

展開のことをすっかり忘れていました。降べきの順などくわしい説明もありがたかったです。初めての質問でこんなにくわしい説明が頂けるとわ思っていませんでした。本当にありがとうございました。

回答No.3

wind-sky-wind

因数分解の基本で，最低次数の文字について整理する，というやつですね。

　中学では，x だけの文字式が多いのですが，文字が複数ある場合に，ある文字についての式と考え，残りの文字は定数（が文字になっている）と考えるのです。

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) を，まず，展開します。

　すると，-a^2*b のような項が出てくると思います。
これは，今まででは３次式と考えたと思いますが，a については２次式で，-b がその定数だ，という考えをします。

　そして，3x^2+4x+1 のようにまとめていくのと同じように，
a^2 の項，a の項，定数項に分けていったのが
-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)
なのです。

　この途中の式の作り方は，展開した式で a^2 の含まれた項をまとめる，a の含まれた項をまとめる，残りの項をまとめる，という風にしていってください。

お礼

とっても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

sanori

ａを主役にするということです。
ａをＡに書き換えたら分かりやすいですか？

Ａ(b^2-c^2)+b(c^2-Ａ^2)+c(Ａ^2-b^2)

Ａ^2の項、Ａの項、Ａ無しの項、それぞれの係数を拾います。

Ａ^2 の係数は、b と c
Ａ の係数は、そのまんま　(b^2-c^2)
残りは、bc^2 と -cb^2

お礼

とっても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

momotarosu

おそらく、あなたが問題にする部分は
(1)-ba2+ca2
が
(2)-(b-c)a2になるのが何故かってことですか？

(1)の状態でa2で（）で括ってしまうと、（）の前にマイナスが
あるので、(2)のように（）の中のプラスマイナスは逆転します。
四則計算の基本事項です。

お礼

とっても参考になりました。ありがとうございました。