ベクトル解析の問題です。

質問

以下の問題が分かりません。
x^2+y^2+z^2<1とx+y+z<1で定義される領域をVとする。Vの境界をSとし、Sの平らな部分をS_1とする。
(1)S_1の中心の座標と半径を求めよ。
(2)∫_C(ydx+zdy+xdz)を求めよ。ここでCはS_1の円周である。ただし、Cはx,y,z軸の順で交わるように定める。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

V={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1,x+y+z<1}
S={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦1,x+y+z≦1}-V
S_1={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦1,x+y+z=1}
(1)
S_1はx,y,zに対して対称だから
S_1の中心の座標を(x,y,z)とすると
x=y=z,x+y+z=1だから
(x,y,z)=(1/3,1/3,1/3)←……(中心)
S_1の境界点座標を(x,y,z)とすると
x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=1だからその1つは
(x,y,z)=(1,0,0)
だから
半径をrとすると
r=√{(1/3-1)^2+1/3^2+1/3^2}
r=√(2/3)
r=(√6)/3←……(半径)

(2)
S_1の円周Cは
C={{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=1}
でx軸と交わる点は(1,0,0)
半径ベクトルは
(1,0,0)-(1/3,1/3,1/3)=(2/3,-1/3,-1/3)
でそれに垂直で,(0,1,0)との内積が正となる方向の半径ベクトルは
(0,1/√3,1/√3)
だから円周C上の点(x,y,z)は
0≦t<2π
(x,y,z)=(1/3,1/3,1/3)+(2/3,-1/3,-1/3)cost+(0,1/√3,1/√3)sint
と表わされる
t=0のとき(x,y,z)=(1,0,0)
t=2π/3のとき(x,y,z)=(0,1,0)
t=4π/3のとき(x,y,z)=(0,0,1)
となる
x=(1+2cost)/3
y={1-cost+(√3)sint}/3
z={1-cost-(√3)sint}/3
と表わされる
dx={(-2sint)/3}dt
dy=[{sint+(√3)cost}/3]dt
dz=[{sint-(√3)cost}/3]dt
だから
∫_{C}ydx
=∫_{0～2π}[(-2sint)/3][{1-cost+(√3)sint}/3]dt
=∫_{0～2π}[(-2sint){1-cost+(√3)sint}/9]dt
=∫_{0～2π}[(-2sint+2sintcost-2√3sintsint)/9]dt

∫_{C}zdy
=∫_{0～2π}[{sint+(√3)cost}/3][{1-cost-(√3)sint}/3]dt
=∫_{0～2π}[{sint+(√3)cost}{1-cost-(√3)sint}/9]dt
=∫_{0～2π}[(sint+(√3)cost-4costsint-√3)/9]dt

∫_{C}xdz
=∫_{0～2π}[(1+2cost)/3][{sint-(√3)cost}/3]dt
=∫_{0～2π}[(1+2cost){sint-(√3)cost}/9]dt
=∫_{0～2π}[{sint-(√3)cost+2costsint-2(√3)costcost}/9]dt

∫_{C}(ydx+zdx+xdz)=∫_{0～2π}{(-√3)/3}dt
∴
∫_{C}(ydx+zdx+xdz)=-2π√3/3