微分積分・基礎解析の問題

質問

(1)実数全体を定義域とする関数fをf(X)=(1/2)x^3+(1/4)x^2+xとします。xy座標平面におけるy=f(x)のグラフのx座標が2である点における法線を表す方程式を求めなさい。
(2)xy座標平面において関数y=e^xのグラフと方程式y=5で表される直線とy軸とで囲まれる領域の面積を求めなさい。

(2)の問題は、ネイピア数のx乗ですが、どんなグラフになるのかあまり想像できません。
回答よろしくお願します。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

(1)(2)のヒント・解法・答が欲しくて、(2)については
＞どんなグラフになるのかあまり想像できません。
から、そこへんも教えて欲しい、ということですよね？

ここまでは解ります。みたいなことがあると、答えやすいのですが…

(1) 「y=f(x)のグラフのx座標が2である点における」接線の傾きが、f'(2)で、
接点の座標は(2,f(2))、これらから、接線の方程式が、
y-f(2) = f'(2)(x-2) になることは、説明要りませんよね？

「法線」が解らない、か、言葉の意味は解っていても、それを問題の中で使えない、
というあたりが、ネックなのではないかと思いますが…

「法線」とは、広い意味では「～に垂直な直線」という意味で、使われる場面で「～」が変わります。ここでは「接線に垂直な直線」、数学的な定義ではなく、応用する側の本音でいうと「元の『曲線』に垂直な直線」ということです。

教科書のどこかに説明があるはずなので、探して説明を確認した方がいいと思いますが、
(ある直線の傾き)×(その直線に垂直な直線の傾き)＝-1 が成り立ちます。
これから、求めないといけない法線の傾きは、-1/f'(2)になることが解ります。
どこで垂直なのか、というと、接点で、ですから、法線も接点を通ります。
それで、法線の方程式は、y-f(2) = {-1/f'(2)}(x-2) になります。

(2) y=2^x とか y=3^x のグラフは描けますか、描けるなら、
e=2.7… で、eは2と3の間の値、それも、3の方に近い値なので、
y=e^x のグラフは、y=2^x と y=3^x のグラフの間、真ん中よりy=3^xに近いグラフになります。

で、グラフが描けたら、A(0,1),B(0,5),C(log(5),5),D(log(5),0) とすると、
囲まれた部分と言うのは、ABC(CAは直線でなく膨らんでいる)、
OACD(ACは膨らんでる)なら、x軸の上の方、xが0～log(5)なので、
∫[0,log(5)]e^x dx で求まるので、長方形OBCDからそれを引いて出てくる。

直接に求めたいときは、y軸の右の方、yが0～5なので、xでなく、yで積分する、
y軸の右の方、ということは、x軸方向なので、y=～でなく、x=(yの式)にする、
それで、∫[0,5]log(y)dy で求めることになります。

グラフの描き方についても、説明、というか説教^^をしておきます。
グラフなんてものは、教科書に示された形を覚えていて、描くものでも、イメージが下りてきた結果、描くものでもありません。

小学校の宿題で、気温の変化のグラフを描くのに、そんなことはしなかったでしょ？

・１時間ごとにだったり、毎日何時にだったり、そのへんは課題次第、調べたいこと
次第ですが、とにかく、まずは、気温を測定する、
・次に、その場では、メモ帳にかもしれませんが、その後は、ノートなんかに、表の枠を用意しておいて、午前何時の下に、または、何月何日、と書いてある(普通は)下に、何度と書く、これを繰り返す。
・次に、または、その時刻・日ごとに、やっていたかもしれませんが、表の値を元に、点を打つ、
・最後に、売った点を、直線(正確には線分)で結ぶ、

こんな具合にやったはずです。理科でも観測でなく実験データの場合や、社会科だと、資料を調べたり、実際に調査をしたりになりますが、どれも同じことですよね。

実は、数学のグラフも、基本的には同じことで、違うのは、

・測定じゃなく、計算をすること、
・定期的にでなく、必要があれば、yの値を求めるxの間隔を変えたりすること、
・ここは、直線じゃない、カクっと曲がった折れ線でもない、と解っているところは、できるだけ滑らかな曲線で結ぶようにすること

くらいです。こういうことをした結果として、イメージや教科書のグラフができるので、逆に考えてはいけません。Excelなどの表計算ソフトやプログラミング言語で、グラフ描かせるときは、計算そのものは自動でやってくれますが、手順はこれと同じ、グラフ電卓や、PCでグラフ描いてくれるソフトも、内部では、こういう地道なことをやっています。

なので、上の段の項目名はx、下の段の項目名はy=2^xという２段の表の枠を書き、
xに、…,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…などと書いていき、その下の対応する欄を、
2^(-3),2^(-2),…と、埋めていく、点を打つ、点を結ぶ、y=3^xも同じ、
y=e^xのときは、手計算という訳にもいかないので、電卓とかPCを使う。
これをやれば、一度でイメージができて、そう簡単に忘れないものになります。
ついでに、y=(1/2)^x, y=(1/3)^x などもやっておけば、完璧で、
対数関数・三角関数なども、出てくるごとにやっておいた方がいい、
こういう「描き方」を身に付けておかないと、先で、媒介変数を使う関数、
極座標を使う関数など、さらにイメージが湧きにくいものが出てきますが、
こういうものに全く対応できなくなります。

回答No.2

151A48

(1) f(x)=(1/2)x^3+(1/4)x^2+x
f ' (x)=(3/2)x^2+(1/2)x+1
f(2)=7・・・接点のy座標，　f ' (2)=8・・・接線の傾き　　∴法線の傾き-1/8
点(2,7)を通り傾き-1/8の直線なので　y-7=(-1/8)(x-2)

（２）y=5　となるxを求めると　e^x=5よりx=log5
0からlog5の範囲で5-e^xを積分すればよいので∫(5-e^x)dx=5x-e^xより
5log5-(e^(log5)-e^0)=5log5-(5-1)=5log5-4となります。
e^log5=5,e^0=1です。