ベクトルの問題です （阪大入試問題）

質問

原点でｚｘ平面に接し、ｚｘ平面に関して点Ｐ（２，４，０）と同じ側にある、半径２の球Ｓがある。Ｓの中心をＱとし、ｙｚ平面上の曲線Ｃ：ｙ＝４　－　z＾２/４　上に点Ｒをとる。

（１）∠ＱＰＲの大きさを求めよ
（２）点Ｒが曲線Ｃ上を動くとき、２点Ｐ，Ｒを通る直線とＳとの共有点Ｓは、ｘｙ平面に垂直なある平面αとＳとの交線上を動く。
平面αの方程式を求めよ。

解答
この球は、中心がＱ（０．２．０）、半径が２である。Ｐ（２，４，０）であり、Ｒはｙｚ平面上でｙ＝４　－　z＾２/４をみたすので
Ｒ（０，ｙ，ｚ）∴ＰＱ→＝（－２、－２，０）
ＰＲ→＝（－２、ｙ－４、ｚ）
Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ）＝(１２－２ｙ)/2√2√(4+(y-4)＾2+z＾2)
ここで、ｚ＾２＝１６－４ｙから、ｙ≦４であり、
√（4+(y-4)＾2+z＾2 = √(y＾2-12y+36)=√(y-6)＾2 =6-y

∴Cos(∠ＱＰＲ）＝1/√2 ∴∠QRP=45°

(2)S(X,Y,Z)とすると、P,R,Sは同一直線上だから、PS→=kPR→
∴(X-2,Y-4,Z)=k(-2,y-4,z)
∴X=-2k+2, Y=k(y-4)+4, Z=kz........（A)
またＳは球面上にあるから、Ｘ＾２＋（Ｙ－２）＾２＋Ｚ＾２＝４
（Ａ）を代入して(-2k+2)＾2+{k(y-4)+2}＾2+(kz)＾2=4
ここで再びz＾2=16-4yを用いると (y-6)＾2k＾2+4(y-6)k+4=0
∴{(6-y)k-2}＾2=0 ∴(6-y)k-2=0.....(B)
(B)にＸ＝-2k+2, Y=(y-4)k+4を用いて、y,kを消去すると
Ｘ＋Ｙ＝４....(C)
点Ｓ（Ｘ，Ｙ．Ｚ）はｘｙ平面に垂直なある平面上を動くといい、
そのＸ，Ｙが常に(C)をみたすので、平面αの方程式はx+y=4

→質問です！
題意の部分で意味がわかりませんでした、ｚｘ平面に接してかつ、ｚｘ平面に関して点Ｐ（２，４．０）ｔｏ同じ側にある半径２の球Ｓってつまりなんですか？？最初のｚｘ平面に接してるまでは理解できましたけど、その後がややこしくてよくわかりません＞＿＜

二つ目は、解答で球の中心Ｑがなぜ（０．２，０）なんですか？？
またＲの座標はなぜＲ（０，ｙ，ｚ）になるのですか？ｘの部分が０なのは、ｙｚ平面上にあるから０と考えました。それいがいはｙ、ｚでよいのですか？
そのあと、Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ＝１２－２ｙ/2√..とありますけど
これどうやってもとめたのですか？？
そのあとの、√４+(y-4)＾2...=√y＾2-12y+..=このあたりはもう手がつけられませんでした＞＿＜
どなたか詳しく教えてください。
（２）について
Ｓは球面上にあるのでＸ＾２＋（Ｙ－２）＾２...とありますが、
何処の式に何を代入してこの式を得たのですか？？

最後は、点Ｓ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はｘｙ平面に垂直なある平面上をうごくといい。。。と最後説明してますが、ちょっと意味がわかりませんでした＞＿＜
どなたか教えてくださいお願いします！！

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

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今回はどんな質問でも、驚かない覚悟で始めました。この手の問題は、前々教育課程の問題で３年程必死にやりました。記憶はふたつ
＊空間の捩れの位置にある２直線の距離（最短距離）の公式
＊Ｔ大の空間にある立方体の投影図の問題
普段は誤植は指摘しないのですが、何からかいていいやら迷っているので、平静を保つため、書きます。（ゴメンネ）//∴∠QRP=45→∠ＱＰＲ//共有点Ｓは→s//ｔｏ→と//

まずNoHintでやりましたが。
＜共有点sは、ｘｙ平面に垂直なある平面αとＳとの交線上を動く。＞
＊sが実際にはどのような軌跡を描くのか。
＊sは一個か二個か。
＊（ｘｙ平面に垂直なある平面α）何故（ｘｙ平面に垂直）とＨＩＮＴを与えているのか。
＊結局、自力では解けず、解答を見る。
＊計算でグチャグチャ、これが最善の解答とは思えない。
＊空間把握力がないと、超難問。当方、空間把握力なしです。

やっと本論。

＞点Ｐ（２，４．０）と同じ側にある半径２の球Ｓってつまりなんですか？
＞その後がややこしくてよくわかりません。
＞球の中心Ｑがなぜ（０．２，０）なんですか？

何を書いたら、見当がつきません。
＊図を限りなく正確に書く。
＊球の最も分かり易い直径は、原点(0,0,0)と（0,4,0)を結ぶ線分。・・・yz平面上
＊よって、球の中心は(0,2,0)、半径は２
＊よって、球の方程式は、x^2+(y-2)^2+z^2=4
＊球の外接立方体を想定する。８点全部は書きませんし、直接解答には影響しませんが、問題を把握するためには重要です。

＞またＲの座標はなぜＲ（０，ｙ，ｚ）になるのですか？
＞ｘの部分が０なのは、ｙｚ平面上にあるから０と考えました。

その通りです。

＞それ以外はｙ、ｚでよいのですか？

本来は、貴殿の記述通り、ｚ＾２＝１６－４ｙより
Ｒ（０，ｙ，±√（１６－４ｙ））と書くべきですが、
Ｒ（０，ｙ，ｚ）ただしｚ＾２＝１６－４ｙ　の略記として
Ｒ（０，ｙ，ｚ）でＯＫです。

＞そのあと、Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ＝１２－２ｙ/2√..？？
＞そのあとの、√４+(y-4)＾2・・・
当方は、角度が定まるとは思わず、媒介変数表示と、早とちり。
Ｒが（0,4,0)と想定し∠ＱＰＲ＝４５度（これは計算なしで読み取れます）
角度が定まるなら、これが解になります。（勿論記述式では不可）
試しにＲが（0,4,0)をやりました。何と４５度。
本格的に計算に入り、４５度を確認、余弦定理です。
当方の計算はちょっと説明し難いので、ちょっと待ってください。余弦定理のはずです。
違いますね。内積の公式を変形したものの様です。
vectorPQ・vectorPR＝|vectorPQ||vectorPR|cos（∠ＱＰＲ） より
cos（∠ＱＰＲ） ＝［vectorPQ・vectorPR］/|vectorPQ||vectorPR|
Ｒ（0,y,z),Ｐ(2,4,0),Ｑ（0,2,0)より
vectorPQ=(-2,-2,0)
vectorPR=(-2,y-4,z)
vectorPQ・vectorPR=4+(-2)(y-4)+0=12-2y
|vectorPQ|=√(4+4+0)=√8=2√2
|vectorPR|=√(4+(y-4)＾2+z＾2)
　　　　　　　ここで、z^2＝16-4y　（ｙ≦４）
=√(4+(y-4)＾2+(16-4y))=√(y＾2-12y+36)=√(y-6)＾2 =6-y 　　としてある様です。
よって、cos（∠ＱＰＲ）＝（12-2y）/（2√2）（6-y）＝1/√2 ∴∠ＱＰＲ=45°

＞ｓは球面上にあるのでＸ＾２＋（Ｙ－２）＾２...とありますが、
＞何処の式に何を代入してこの式を得たのですか？？

sは直線と球の交点です。そして座標を　s(X,Y,Z)と置いて、
球の方程式x^2+(y-2)^2+z^2=4にX,Y,Zを代入した事になります。
さらに、次の記述があります。
　　　　s(X,Y,Z)とすると、P,R,Sは同一直線上だから、
　　　　PS→=kPR→
　　　　∴(X-2,Y-4,Z)=k(-2,y-4,z)

＞点Ｓ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はｘｙ平面に垂直な・・・ちょっと意味がわかりませんでした

Ｘ＋Ｙ＝４....(C)　意味を思考します。
Ｚがありませんね。これはＺは何でも良い（Ｚは任意）をもいみします。
xy平面に平行な平面上で、常にＸ＋Ｙ＝４....(C)が成立しています。
と言うことは、平面Ｘ＋Ｙ＝４....(C)　は　xy平面に垂直・・・ですが、
自分で、＜xy平面に平行な平面＞を幾つか描いて、更にＸ＋Ｙ＝４....(C)を幾つか描いて見るまで判明しないでしょう。

普段は＜ご連絡下されば補足します＞と締めますが、流石にこの難問では当方の投稿を解読するだけでも大変だろうなと・・・ＳＥＥ　ＹＯＵ
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お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！
（１）はまず、中心の座標が解らないとダメですね＞＿＜Ｐと同じ側にある半径２の球があるといった時点で、（０，２，０）と気がつかない時点でかなり、数学の自信無くなりました＞＿＜
あと、そのあとですけど、理解した後でみると、内積を用いた問題で非常にシンプルでした＞＿＜

（２）に関しても、球の方程式に関係式を作り代入したことでえられる問題でした。。。＞＿＜

返事書いていただいて、ありがとうございました！！！！！！！！

回答No.2

debut

最初の部分はＮｏ１の方の回答でよろしいでしょうか？

＞またＲの座標はなぜＲ（０，ｙ，ｚ）になるのですか？

　　Ｒは曲線ｙ＝４－ｚ^2/４上の点だというので、ｘ＝０
　　は決定できるけど、ｙとｚは変化するので、そのまま
　　ｙ、ｚと表すわけですね。

＞Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ＝１２－２ｙ/2√..とありますけど
　これどうやってもとめたのですか？？

　内積ＰＱ→・ＰＲ→を、
　　(1)ベクトルの大きさとなす角でやり
　　(2)ベクトルの成分でやり
　(1)=(2)　とします。
　ＰＱ→＝(-2,-2,0)なので
　　｜ＰＱ→｜＝√{(-2)^2+(-2)^2}＝２√２
　ＰＲ→＝(-2,y-4,z)なので
　　｜ＰＲ→｜＝√{(-2)^2+(y-4)^2+z^2}
　すると、
　(1)では内積が 2√2√{4+(y-4)^2+z^2}cos∠ＱＰＲ
　(2)では内積が(-2)×(-2)+(-2)(y-4)+0×z=-2y+12
　これらを＝でつないで z^2=16-4yを代入・整理すれば
　{2√2√(y-6)^2}cos∠ＱＰＲ＝-2y+12
　∴cos∠ＱＰＲ＝(-2y+12)/{2√2×(6-y)}＝1/√2

＞何処の式に何を代入してこの式を得たのですか？？

　　球の方程式は、中心が(x1,y1,z1) 半径がｒなら
　　 (x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2=r^2　だから
　　Ｓの中心(0,2,0)、半径２を代入して
　　(x-0)^2+(y-2)^2+(z^0)^2=2^2 を計算したものですね。

お礼

いつも返事書いていただいて、本当にどうもありがとうございます！！
おかげで、いつも何度も読み返して、理解しています！！！
Ｄｅｂｕｔさんの回答は、いつもすごくシンプルで
かつ、わかりやすいです！！
本当にどうもありがとうございました！！！

回答No.1

a-saitoh

最初の質問だけ

zx平面に接する半径2の球というのは、中心のy座標が2か-2かどちらかです。つまり、xz平面の表側か裏がわか。それがy>0側にある、と言ってるだけです。
つまり、球Sの中心は(x=?,y=2,　z=?)という場所にあると。

お礼

返事書いていただいてありがとございました！！
半径２の球の場所がわかりました＞＿＜
本当にどうもありがとうございました！！！！