ベクトル解析学の発散divvの問題について

質問

ユークリッド空間に、原点をOとするxyz座標をとる。空間からOを除いた領域で定義されたベクトル場v(x)=
x/||x||^3
y/||y||^3
z/||z||^3
を考えます。ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。このベクトル場について、

発散divvを計算してください。また、Oを中心とし半径がRの球面S(R)上での面積分∫S(R)v・dSを求めてください。球面S(R)のパラメーター表示は(単位球面)x(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
また、計算するとx^2+y^2+z^2=1―(1)です。
解答はdivv=0,面積分の値は4πです。
という問題で解説には「このようにべクトル場が定義されていない点がある場合、この点を囲む閉曲面Sとそれによって囲まる領域Dではガウスの発散定理が成り立ちません。」とあります。
質問1ガウスの発散定理を使わずに、発散divv=0をどのように求めたのでしょうか？
質問2発散divvを求めるのに、偏微分を使って、∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=1+1+1=3では間違いなのはなぜでしょうか？
質問3divv=0とガウスの発散定理による面積分の公式を使わずに、どのように面積分を求めるのでしょうか？これは単位球面だからdivv=0は無視して、単に球の表面積の公式を当てはめてR=1を代入して求めるしか方法はないのでしょうか？
以上3点、途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

(1)を使って、||x||=1より、v(x)=
x
y
z
まではわかりました。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>V(X)=
>x/||X||^3
>y/||X||^3
>z/||X||^3
>を考えます。
>ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。
　　　　↑↑この||x||の式中の「x」は「X」の間違いですね。

>このベクトル場について、
>発散divVを計算してください。
--------------------------------------------------------------------------------
>という問題で解説には「このようにべクトル場が定義されていない点がある場合、この点を囲む閉曲面Sとそれによって囲まる領域Dではガウスの発散定理が成り立ちません。」とあります。

>質問1ガウスの発散定理を使わずに、発散divV=0をどのように求めたのでしょうか？
-------------------------------------------------------------------------------
以下のように、定義に基づき計算します。Vが未定義の原点(0,0,0)を除く点での発散は以下の通り求めます。

divV=∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z　...(※)
=∂(x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂x + ∂(y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂y
+ ∂(z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂z
=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)
=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
=0 (ただし、原点を除く)

この結果は
>解答はdivV=0,面積分の値は4πです。
と一致します。

>また、Oを中心とし半径がRの球面S(R)上での面積分
>∫S(R) v・dSを求めてください。
　　　↑↑の式中の「v」は「V」の間違いでは？

>球面S(R)のパラメーター表示は(単位球面)
>x(u,v)=
↑この「x」は「X」の間違いでは？

>cosu・cosv
>cosu・sinv
>sinu

>また、計算するとx^2+y^2+z^2=1―(1)です。
R=1であるからです。

上記の訂正をすれば

I=∫∫{S(R)} V・dS
R=x^2+y^2+z^2)^(1/2)=1,球対称なので
I=8∫∫{S(1),x≧0,y≧0,z≧0} V・dS
=8∫∫{S(1),x≧0,y≧0,z≧0} V_x*dS_x+V_y*dS_y+V_z*dS_z
=8∫∫{S(1),x≧0,y≧0,z≧0} (xdydz+ydzdx+zdxdy)
x=cos(u)cos(v), y=cos(u)sin(v), z=sin(u) と置いて変数変換する。
ヤコビアンJxy,Jyz,Jzxを用いると
dydz=|Jyz|dudv=cos^2(u)cos(v)dudv,
dzdx=|Jzx|dudv=cos^2(u)sin(v)dudv,
dxdy=|Jxy|dudv=cos(u)sin(u)dudv
であるから
I=8∫∫{0≦u≦π/2,0≦v≦π/2} cos(u)cos(v)(cos^2(u)cos(v))dudv
+cos(u)sin(v)(cos^2(u)sin(v))dudv+sin(u)(cos(u)sin(u))dudv
=8∫{0≦u≦π/2,0≦v≦π/2}(cos^3(u)cos^2(v)+cos^3(u)sin^2(v)
+sin^2(u)cos(u))dudv
=8∫{0≦u≦π/2,0≦v≦π/2}(cos^3(u)+sin^2(u)cos(u))dudv
=4π∫{0≦u≦π/2} cos(u)(cos^2(u)+sin^2(u))du
=4π∫{0→π/2} cos(u)du
=4π[sin(u)][0→π/2]
=4π

>解答はdivV=0,面積分の値は4πです。
解答と一致しています。

>質問2発散divVを求めるのに、偏微分を使って、
>∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=1+1+1=3では間違いなのはなぜでしょうか？

発散 divV の定義式 (※) とは別物の式だから、全くの間違い。

>質問3　divV=0とガウスの発散定理による面積分の公式を使わずに

原点ではdivVは未定義なのでこの原点を含む球面では「ガウスの発散定理による面積分の公式」は使えません。

>どのように面積分を求めるのでしょうか？
>これは単位球面だからdivV=0は無視して、単に球の表面積の公式
>を当てはめてR=1を代入して求めるしか方法はないのでしょうか？

その通りです。

補足

divV=∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z　...(※)
=∂(x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂x + ∂(y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂y
+ ∂(z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂z
ここまではわかるのですが、それ以降の計算がわかりません。噛み砕いて解説宜しくお願いします。特に分子の3が出てきません。
=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)
=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
=0 (ただし、原点を除く)

回答No.4

info22_

No.1～No.3です。

ANo.2の補足質問の回答

>divV=∂V_x/∂x + ∂V_y/∂y + ∂V_z/∂z　...(※)
>=∂(x/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂x + ∂(y/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂y
> +∂(z/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))/∂z

>ここまではわかるのですが、それ以降の計算がわかりません。噛み砕いて解説宜しくお願いします。
>特に分子の3が出てきません。

積の微分公式：(uv)'=u'v+uv' を使って

=(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))+x*((-3/2)2x/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))
+(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))+y*((-3/2)2y/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))
+(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))+z*((-3/2)2z/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))

左の３項、右の３項をそれぞれまとめると

=(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))+(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))+(1/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))
-3(x^2/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))-3(y^2/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))-3(z^2/(x^2+y^2+z^2)^(5/2))

>=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)^(5/2)
>=3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) -3/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
>=0 (ただし、原点を除く)

と続きます。

お分かり？

回答No.3

info22_

No.1,No.2です。

追加補足です。

>(1)を使って、||X||=1より、V(X)=
>x
>y
>z
これは間違いです。
変微分する前に,Vのに||X||=√(x^2+y^2+z^2)=1の関係を代入してはダメです。
divV　の(x,y,z)の変化方向 は
x^2+y^2+z^2=1を満たす(x,y,z)の変化方向（接平面方向）
とは異なるからです。

>まではわかりました。
なので間違ったことを正しいとわかってもらっても意味がありません。間違った知識を正しいと思い込んで、わかったと言って、計算してくれても、間違った結果がでるだけ。

回答No.1

info22_

この表現が理解できません。
>v(x)=
>x/||x||^3
>y/||y||^3
>z/||z||^3
>を考えます。ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。

√(x^2+y^2+z^2)の中のx,y,zや
x/||x||^3、y/||y||^3、z/||z||^3の分子のx,y,zは
ヘクトルの成分であり
一方
||x||^3、||y||^3、||z||^3の中のx,y,zはヘクトルの成分です。

ベクトルとベクトルの成分に同じ文字x,y,zを使わないようにしましょう｜
同じ文字を割り振って見えることが混乱の原因と思われます。

ベクトルとその成分の文字に別の文字を使って問題文を書き換えて、補足に書き直してもらえませんか？

>||x||=1
このxはベクトル。

>v(x)=
このv(x)のxはベクトル。

>x
>y
>z
>まではわかりました。
このx,y,zはベクトルの成分。

>v(x)=
>x/||x||^3
>y/||y||^3
>z/||z||^3
>を考えます。ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。
v(x)のxはベクトルなので大文字の「X」を使うと
　X=(x,y,z)
「v(X)=」
「||X||=√(x^2+y^2+z^2)」
となります。

||X||については上の通りかと推察しますが
V(x)の式の右辺の式の中の
　||y||と||z||
は何でしょうか。補足にお書き願えませんか？

以上、補足を使って、訂正または補充説明をしてください。

補足

誤植があったので訂正いたします。
ユークリッド空間に、原点をOとするxyz座標をとる。空間からOを除いた領域で定義されたベクトル場
V(X)=
x/||X||^3
y/||X||^3
z/||X||^3
を考えます。ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。このベクトル場について、

発散divVを計算してください。また、Oを中心とし半径がRの球面S(R)上での面積分∫S(R)v・dSを求めてください。球面S(R)のパラメーター表示は(単位球面)x(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
また、計算するとx^2+y^2+z^2=1―(1)です。
解答はdivV=0,面積分の値は4πです。
という問題で解説には「このようにべクトル場が定義されていない点がある場合、この点を囲む閉曲面Sとそれによって囲まる領域Dではガウスの発散定理が成り立ちません。」とあります。
質問1ガウスの発散定理を使わずに、発散divV=0をどのように求めたのでしょうか？
質問2発散divVを求めるのに、偏微分を使って、∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=1+1+1=3では間違いなのはなぜでしょうか？
質問3divV=0とガウスの発散定理による面積分の公式を使わずに、どのように面積分を求めるのでしょうか？これは単位球面だからdivV=0は無視して、単に球の表面積の公式を当てはめてR=1を代入して求めるしか方法はないのでしょうか？
以上3点、途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

(1)を使って、||X||=1より、V(X)=
x
y
z
まではわかりました。