収束

質問

lim[n→∞]=n*a^n 0<a<1
の答えの導出を教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

普通に…

n・a^n = n/{(1/a)^n} = n/{e^(n log(1/a)}.

指数関数をマクローリン展開して、e^x = Σ[k=0→∞] x^k/(k!).
x > 0 のとき、右辺の級数は各項正だから、
打ち切ると下から評価できて、e^x > 1 + x + x^2/2.

0 < a < 1 のとき、log(1/a) > 0 だから、上式が使えて、
e^(n log(1/a) > 1 + n log(1/a) + {n log(1/a)}^2/2.

よって、冒頭の式より、
n・a^n < n/[1 + n log(1/a) + n^2 {log(1/a)}^2/2].

n・a^n > 0 は自明だから、n→∞ でハサミウチすれば、
lim[n→∞] n・a^n = 0 が導かれる。

お礼

ありがとうございます