収束しない数列でチェザロ総和みたいなものを考えると

質問

異なる正の数a,bに対し、
数列a[n]：a,b,a,b,a,b,…
は収束しないですが、
S_1[n]=(a[1]+a[2]+…+a[n])/n
としたとき、
lim[n→∞]S_1[n]=(a+b)/2
と収束し、そのようなものをチェザロ総和といいます。

では、
S_2[n]=√[(a[1]*a[2]+a[1]*a[3]+…+a[1]a[n]+a[2]a[3]+…+a[n-1]a[n])/{n(n-1)/2}]
としたとき、
lim[n→∞]S_2[n]
はどうなるのでしょうか？

さらに、lim[n→∞]S_3[n]、…、や、それらの収束の相互関係（大小関係や収束のしやすさ）などについて、なにかご存知のことがありましたら教えていただけないでしょうか？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

(a[1] + a[2] + … + a[n])^2 の括弧を展開して考えると、

S_2[n]^2 = { (n S_1[n])^2 - (a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2) } / { n(n-1) }
= { n^2 / (n^2 - n) } S_1[n]^2 - Q[n] / (n-1),
ただし Q[n] = (a[1]^2 + a[2]^2 + … + a[n]^2) / n となります。

Q[n] が a[n]^2 の「チェザロ総和」であることを使うと、
lim Q[n] = (a^2 + b^2) / 2 で、これは有限です。よって、
lim S_2[n]^2 = 1・lim S_1[n]^2 - 0 より、lim S_2[n] = | a + b | / 2。

より高次の S_m[n] も、(a[1] + a[2] + … + a[n])^m の展開を考えれば…

お礼

ありがとうございます。
lim[n→∞]S_2[n]=(a+b)/2
ということは、
lim[n→∞]S_3[n]
も同じになるのでしょうか。

(a[1]*a[2]*…*a[n])^(1/n)
の極限を考えると、
√(ab)
になると思いますが、それは
lim[n→∞]S_∞
に相当するのでしょうか？