収束

質問

こんばんは。

lim(1＋1/n)^n ｎ→∞　　でeに収束

ある証明でこれを使いたいのですがこれの証明をわすれてしまいました。どなたかご存知のかたおりますでしょうか？

回答No.6

kup3kup3 · ベストアンサー

こんばんは。#3です。

先ほどの件本を調べました。少し違っていました。
a_n＝1+1+1/2!×(1-1/n)+1/3!×(1-1/n)(1-2/n)+・・・・＋
1/n!×(1-1/n)(1-2/n)・・・{1-(n-1)/n}　　・・・(1)
次に同様にして　（以下　×を略す）
a_(n+1)＝1+1+1/2!{1-1/(n+1)}+1/3!{1-1/(n+1)){1-2/(n+1)}
+・・・・＋1/n!{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・{1-(n-1)/(n+1)}
+1/(n+1)!{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・{1-n/(n+1)}　　・・・(2)
となります。
a_nとa_(n+1)を比較したとき、a_nの各項より、a_(n+1)の
各項の方が大きく、しかもa_(n+1)は1つ余分に正の項を持っている

◎ゆえに　a_n <a_(n+1)　となり、{a_n}は単調増加である。・・・(3)

次に先ほど
a_n≦1+1+1/2!+1/3!+・・・・1/n!　　・・・(4)を示しました。
ここで　n!=1・2・3・・・(n-2)(n-1)n≧1・2・2・・・・2・2・2=2^(n-1) 　・・・(5)
を使うと
a_n≦1+1+1/2+1/(2^2)+・・・+1/(2^(n-1)
　　=1+{1-(1/2)^n}/(1－1/2)=1+2-(1/2)^(n-1)=3-(1/2)^(n-1) < 3
　　　・・・(6)

◎これで「上に有界」がしめされた。
(3)と(６)により、
数列{a_n}　ただし、　a_n=(1+1/n)^n は
上に有界な単調増加数列だから、実数の性質から収束し、
その値は２より大きく、３より小さい
すなわち　lim[n→∞]（1+1/n)^n は収束し、２と３の間の値であることが分かった。
以上

お礼

まとめてのお礼失礼します。
大変参考になりました。皆さん返答ありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

高校あたりでは、e = lim[n→∞] (1＋1/n)^n が、e の定義だったと思います。
収束性はともかく、極限が e であることを「証明」するためには、
e に何か他の定義が必要ですね。　e = exp(1) では、どうでしょう。
y = exp(x) は、x = ∫[1≦t≦y] dt/t で定まる実関数と定義します。

log(y) = ∫[1≦t≦y] dt/t と書くことにすると、
lim[n→∞] (1＋1/n)^n が収束するならば、
lim[n→∞] (1＋1/n)^n = lim[n→∞] exp log (1＋1/n)^n
= exp lim[n→∞] n log(1＋1/n)
= exp lim[h→+0] (1/h) { log(1+h) - log(1) }

上記 log の定義より、lim[h→+0] (1/h) { log(1+h) - log(1) } = 1 です。
収束性は、先に証明しておく必要があります。

回答No.4

noname#75273

ANo.1 です。
証明の手順が逆でした。申し訳ないです。

1 以上の数 x に対して、自然数 n を n ≦ x < n + 1 となるようにすると、
1 + 1 / (n + 1)　<　1 + 1 / x　≦　1 + 1 / n
よって、( 1 + 1 / (n + 1) )^n　<　(1 + 1 / x)^x　≦　(1 + 1 / n)^(n + 1)
すなわち、
{ ( 1 + 1 / (n + 1) )^(n + 1) } / { 1 + 1 / (n + 1) }　<　(1 + 1 / x)^x　≦　{ (1 + 1 / n)^n } { 1 + 1 / n }
ここで、x to +∞　とすると n to ∞
この両辺が e に近づく

回答No.3

kup3kup3

こんばんは。
２項定理を使ってa_n=(1＋1/n)^nが単調増加数列でかつ上に有界を示す方法だったはずです。展開して
a_n=１＋1＋n(n-1)/{(2・１)n^2}＋n(n-1)(n-2)/{3・2・１)(n^3)＋・・・
+n(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)/｛k{k-1)・・3・2・1}(n^k)＋・・・
=1＋１＋(1-1/n)+(1-1/n)(1-2/n)/(2・１)+・・・
+(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)・・・{1－(k-1)/n}/｛k{k-1)・・3・2・1}＋・・・
＋(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)・・・{1－(n-1)/n}/｛{n-1)・・3・2・1}としておく。
(1)　そしてこれから
a_n≦2＋1/2!+1/3!+・・・+1/k!+・・・・＋1/(n-1)!を示す。そして
1/2!=1/2・１≦1/2・2，以下２つ、４つ、８つ、１６づつと分数をまとめて、
２の何乗の分数以下にして、等比級数でおさえて３より小さいことを
示すはずだったけど思い出せない。
(2)単調増加は
a_(n+1)がa_nより項が一つ多いことをうまく利用してやったはず。
また、調べてきます。

回答No.2

koko_u_

単調増加で上に有界であることを示せばよいでしょう。
収束先が e (自然対数の底)であることは定義ですから証明はありません。

回答No.1

noname#75273

e = lim[t to 0] (1 + t)^(1/t)
t = 1/n とおくと、・・・・・