数列の収束

質問

数列の問題なのですが
a_(n+1)=√2^(a_n)
という数列で
(1) a_0=2,a_0=4の時，2,4に収束することを示せ。
(2) a_0<2の時，lim(n→∞)a_n=2を示せ。
(3) a_0>4の時，lim(n→∞)a_n=∞を示せ
(4) 2<a_0<4のとき，lim(n→∞)a_n=2を示せ。

という問題なのですが，(1)以外がどう手を付けて良いのかわかりません＞＜
どなたか解説お願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

大学生なら、不動点の安定性の定理を使えば一発です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9

真面目に証明するなら、ほとんど、この不動点の安定性に関する定理の証明をそのままなぞる形になりますかね。

(2)だけ。
とりあえず、a_n<2と仮定します。
f(x) = √2^x
と書くと
a_(n+1) = f(a_n)
2 - a_(n+1) = f'(b) (2 - a_n)
ただし、a_n<b<2 （平均値の定理）
ここで、b<2より、
0<f'(b)<log(2)
より、
0 < 2 - a_(n+1) < log(2) (2 - a_n)
で、a_(n+1) < 2 です。
したがって、数学的帰納法より、全てのnについて、
2 - a_(n+1) < log(2) (2 - a_n)
が言えるんで、
0 < 2-a_n < (log(2) )^(n-1) (2-a_0)
で、右辺は、n→0で0になりますから、2-a_n → 0 です。

(3),(4)
も、同様にして、
y=√2^x
と、
y=x
のグラフを描いてみて、どういうふうに動いていくか概略をつかんだ後は、平均値の定理と帰納法を使って証明します。

お礼

問題，解けました＾＾
ありがとうございました。