級数の収束・発散の判定Σ(cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n)

質問

a_n=(cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n)
において、
Σa_nの収束・発散を調べています。

cos^4(arctan(n))/n^(1/4)n
=1/{n^(1/4)n(n^2+1)^2}
なので
lim a_n+1/a_n
が1未満なら収束ですよね。

a_n+1/a_n=n/(n+1)・(n/(n+1))^(1/4)・(n^4+2n^2+1)/(n^4+4n^3+16n^2+4)
となり、
lim a_n+1/a_n=1
となってしまうのでこの級数は発散すると思います。

しかしながら
Σa_n<Σ1/n^(5/4)
といえ、調和級数の収束・発散条件からΣa_nは収束となってしますよね。

一体、何処を間違っているのでょうか?

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

lim a_n+1/a_n=1
では収束も発散も判定できない。のです。
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E7%B4%9A%E6%95%B0#.E6.AF.94.E3.81.AB.E3.82.88.E3.82.8B.E5.88.A4.E5.AE.9A.E6.B3.95

お礼

有り難うございます。

lim a_n+1/a_n>1
が発散でした。
lim a_n+1/a_n=1
はどちらともいえないのですね。