[高校数学III]収束数列によるeの定義式

質問

lim[n->∞]{1+(1/n)}^n=e
について、
{1+(1/n)}^n={1+(1/n)}*{1+(1/n)}*…*{1+(1/n)} (n回かける)
また、lim[n->∞]{1+(1/n)}=1なので、
lim[n->∞]{1+(1/n)}^n=lim[n->∞]{1+(1/n)}*lim[n->∞]{1+(1/n)}*…*lim[n->∞]{1+(1/n)}　(n回かける)
=1*1*…*1　(n回かける)
=1
じゃないの？などと思ってしまうのですが、これはどこが誤っているのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

＞lim[n->∞]a_nが存在するとき
＞lim[n->∞](a_n)^α=(lim[n->∞]a_n)^α (αは実数定数)
＞これは正しいと言えるのでしょうか？

これは正しいです。

たとえば似たような極限として、
(1+α/n)^n（αは自然数）の極限を求めることを考えてみます。

α/n= 1/mとおくことにすると、
n= αmであり n→∞のとき m→∞となります。

(1+α/n)^n
= (1+ 1/m)^(αm)
= { (1+ 1/m)^m }^α
→ e^α（m→∞）

となります。

お礼

よく分かりました。
何度も回答して頂いて有難うございました、勉強になりました。
また機会があれば是非よろしくお願いします。

回答No.6

R_Earl

> lim[n->∞]a_nが存在するとき
> lim[n->∞](a_n)^α=(lim[n->∞]a_n)^α (αは実数定数)
> これは正しいと言えるのでしょうか？

n → ∞の時a_n → 0で、かつα = 0の場合、
lim[n->∞](a_n)^α = (lim[n->∞]a_n)^αとはなりません。
この場合、左辺は0ですが、右辺は0^0なので計算不可です。

お礼

lim[n->∞]a_n≠0またはα≠0において
lim[n->∞](a_n)^α = (lim[n->∞]a_n)^α
が成り立つという事ですね。
有難うございました。

回答No.4

naniwacchi

#3です。

#1さんへの補足について、コメントします。

＞lim[n->∞](a_n)^n=(lim[n->∞]a_n)^nにはならないという事でしょうか？

これは明らかに違います。
指数の「^n」も nの関数ですから、
「(a_n)^n」でひとつの nの関数であるということです。

lim[n→∞] a_nの外へと切り離すことはできません。

たとえばこのような式として、
(1/n)^n= 1/n^nの極限を求めることを考えてみます。
この場合もあくまでも n^n→∞となることを調べるのであって、
lim(1/n)^n= (lim 1/n)^nを計算しているわけではありません。

補足

なるほど。
参考書にも「２つのnを切り離して変化させることはできない」と書かれていますが、これはnaniwacchiさんがおっしゃった「ひとつの関数」という事を示しているんですね。

もう一つお聞きしたいのですが、
lim[n->∞]a_nが存在するとき
lim[n->∞](a_n)^α=(lim[n->∞]a_n)^α (αは実数定数)
これは正しいと言えるのでしょうか？

回答No.3

naniwacchi

一言で言えば、「掛け合わせている回数 nも∞になっているから」ということですね。

二項定理から考えると、もう少し収束値の様子を見ることができます。
先日、似たような計算をおこなった問題があります。
sqa.scienceportal.jp/qa5491096.html

この問題の #3の添付において、c= 1とした場合がいまの計算になります。
「二項」の一つである 1/nと指数である nが相殺するような形で現れてきます。
第2項までで「2」という値が確定してきます。
第3項以降は、1/2!+ 1/3!+ ・・・となっていきます。

回答No.2

koko_u_u

実際に n = 3 くらいまで計算すれば 1 でないことはすぐにわかる。

回答No.1

kabaokaba

標語的にいうなら
「1に近い数を「無限回」かける」
ということです．決してn回ではないです．
しかもnに依存して，「1に近い数」も変動します．
こういうときは，1になるとは限らないということの
実例がeの定義です．

また，質問文の中では
limをばらしている部分が間違いです．
こういう分配はできません．
分配先がn個でしょう？
だからだめです

補足

回答有難うございます。
>「1に近い数を「無限回」かける」
よく分かりました。

>分配先がn個
lim[n->∞]a_nが収束するとしても
lim[n->∞](a_n)^n=(lim[n->∞]a_n)^nにはならないという事でしょうか？
いま一つイメージできないのですが、どういう捉え方をすれば良いでしょうか？