極限の問題

質問

以前も質問させていただきましたが、わからないので教えてください。

lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n),a>0,b>0の極限を求めよ。この式にはn乗根が入っています。醜くて申し訳ありません。

まずa,bの大小で2通りに場合わけして、はさみうちを利用しそれぞれ「a.bという答え」になりました。

答えはmax{a,b}のようですが、a=bの場合を考えて、単純にlim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)をa=bにすると答えは2a=2bになると思いますが、これは模範解答の答えに含まれていません。

lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)=lim(n→∞)*{a^n+a^n}^(1/n)
=lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=2a

nが消える。

何ででしょうか。挟み撃ちのときは小なりイコールのような感じでイコールのときも一括してやっているので裏目に出ませんでした。

以上をよろしくお願いします。

回答No.1

age_momo

最後の式変形が間違っています。

>lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=2a

正しくは

lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=a*lim(n→∞)2^(1/n)=a

n乗されているのはaだけです。1/n乗と相殺されるのはaだけですね。
平方根の変形を思い出してください。

√(2a^2)=a√2

2はルート(つまり1/2乗)の中に残るでしょう。