極限について

質問

f(x)-g(x)→0
と
f(x)/g(x)→1
は同値ですか？

同値だと思っていろいろやってましたが，気になりました．
というのも感覚的には大きさの比が一定となればその差も
一定かなと思ったからです．
よろしくお願いします．

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

lim g(x) = 0 の場合は、
lim f(x)/g(x) = 1 ⇒ lim f(x)-g(x) = 0 は成り立つが、
lim f(x)-g(x) = 0 ⇒ lim f(x)/g(x) = 1 は成り立たない。
lim (f(x)-g(x))/g(x) が、0/0 型の不定形になるから。

lim f(x) = lim g(x) = +∞ の場合も、
lim f(x)/g(x) = 1 や lim f(x)-g(x) = 0 はあり得るが、
この場合は、逆に、
lim f(x)-g(x) = 0 ⇒ lim f(x)/g(x) = 1 は成り立つが、
lim f(x)/g(x) = 1 ⇒ lim f(x)-g(x) = 0 は成り立たない。
lim (f(x)/g(x)-1)g(x) が、0∞ 型の不定形になるから。

お礼

まとめてくださってありがとうございます．

f(x)-g(x)が∞-∞の不定形で最高次数が同じ場合は
f(x)+g(x)を分母分子にかける方法がよさそうですね．

間違えに気づけてよかったです．

回答No.2

ask-it-aurora

もし条件を増やすなら極限値 lim g(x) が存在して，かつlim g(x) ≠ 0 ≠ g(x) のときでしょうね．もしそうなら次のように示せます．

f(x) - g(x) → 0 のとき：
f(x)/g(x) = (f(x) - g(x) + g(x))/g(x) = (f(x) - g(x))/g(x) + 1 → 1.

f(x)/g(x) → 1 のとき：
f(x) - g(x) = (f(x) - g(x))g(x)/g(x) = (f(x)/g(x) - 1)g(x) → 0．

お礼

回答ありがとうございます．
よくわかりました．
このくらい自分でできないとまずかったなあ．
甘えてしまいました．

回答No.1

ask-it-aurora

明らかな反例： f(x) = g(x) = 0.

お礼

恒等的に0である場合を除くとどうなりますか？