|f(x)|>g(x) を解くとき

質問

|f(x)|>g(x) を解くとき、

「f(x)<-g(x) かつ f(x)＜０」または「g(x)<f(x) かつ f(x)≦０」
と
「f(x)<-g(x) , g(x)<f(x)」
とは同値ですか?

回答No.2

hugen · ベストアンサー

|f(x)|>g(x)　⇔　f(x)>g(x) , -f(x)>g(x)

回答No.4

arrysthmia

随分いろいろと混乱しているようですが…

[1]　| f(x) | > g(x)
[2]　「 f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≦ 0 」
[3]　「 f(x) < -g(x) かつ f(x) > 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≦ 0 」
[4]　f(x) < -g(x) または g(x) < f(x)
[5]　f(x) < -g(x) かつ g(x) < f(x)

[1] [4] の組、[3] [5] の組が、それぞれ同値です。
「 f(x) < -g(x) , g(x) < f(x) 」 とは、[4] [5] どちらのつもりでしょうか？

[1] [4] と同値にしたいなら、[2] や [3] ではなく、
以下の [6] [7] のどちらかでしょう。

[6]　「 f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≧ 0 」
[7]　「 f(x) < -g(x) かつ f(x) ≦ 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) > 0 」

f(x), g(x) の替わりに F, G とでも書いて、点 ( F, G ) を座標平面に図示してしまうと
見通しがよくなります。

回答No.3

R_Earl

> 「f(x)<-g(x) かつ f(x)＜０」または「g(x)<f(x) かつ f(x)≦０」

「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」でしょうか？

> 「f(x)<-g(x) , g(x)<f(x)」

「,」の記号の意味は「または」でしょうか？

[1]
g(x) < 0となるxの範囲では、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」は常に成り立ちますし、
「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」も常に成り立ちます。
よって『g(x) < 0となるxの範囲』では両者は等価となります。

[2]
g(x) = 0となるxの範囲では、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」が成り立つのは『f(x) ≠ 0となるxの範囲』となります。
「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」が成り立つのも『f(x) ≠ 0となるxの範囲』となります。
よって『g(x) = 0となるxの範囲』でも両者は等価です。

[3]
最後に0 < g(x)となるxの範囲を考えます。
0 < g(x)なので、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇒「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 < f(x)」
となります（f(x) = 0では不等式を満たせないので、f(x) ≠ 0）。
次に「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」の方で考えます。
「f(x) < -g(x)」が成り立つ為には、f(x)は負の値をとらなくてはなりません(-g(x)が負の数なので)。
よってこの場合、f(x) < -g(x)が成り立つなら自動的にf(x) < 0となります。
同様に「g(x) < f(x)」が成り立つ時、f(x)は正の値をとらないといけないので
g(x) < f(x)が成り立つ時、自動的に0 < f(x)が成り立ちます。
よって『0 < g(x)となるxの範囲』でも両者は等価です。
また、こんな方法で示すこともできると思います。

「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇒「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 < f(x)」
⇒「f(x) < -g(x)」または「g(x) < f(x)」（0 < g(x)なら、「かつ」以降の条件が自動的に満たされる）
⇒ よって両者は等価

[4]
[1]～[3]より、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇔「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」

という結論が得られました。

お礼

誤植はお詫びします。
|f(x)|>g(x) を解くとき、
「f(x)<-g(x) かつ f(x)＞０」または「g(x)<f(x) かつ f(x)≦０」
と
「f(x)<-g(x) , g(x)<f(x)」
とは同値ですか?

ありがとうございます。
何人の方から間違った解答をもらい、不安でしたが、同値だということで安心しました。

|f(x)|>g(x)⇔max{f(x),-f(x)}>g(x)⇔f(x)>g(x)または-f(x)>g(x)

回答No.1

10ken16

同値ではありません。

高校のレベルだったら、f(x)の符号で場合分けです。

i)　f(x)≧0のときf(x)>g(x)
ii)　f(x)＜0のとき|f(x)|＝ちょめちょめだから、…

関数が簡単ならば、両辺を２乗して差をとるというのもアリですが。