極限値とf(1)

質問

(x<1) f(x)=x^3+(1-a)x^2
lim(x →1-0) {x^3+(1-a)x^2} =2-a

2-aをf(1)にしてもよいのでしょうか。
x<1でf(x)が定義されているので、f(1)は計算できないような気がします。
問題集では、2-aをf(1)にしています。
解説をお願いします。

回答No.3

info222_

> f(x)=x^3+(1-a)x^2 (x<1)
f(x)の定義域は　x<1 なので f(1-0)のx=1-0<1ではf(x)は定義されています。
f(1)と書くとx=1のときのf(x)の意味となるのでf(x)の定義域の外のｘなのでf(1)という書き方はまちがいです。

>lim(x →1-0) {x^3+(1-a)x^2} =2-a
この意味はf(1-0)であってf(1)ではありません。
「極限lim(x →1-0）」の意味は x<1の定義域内でxを限りなく1に近づけたときの極限の値を指します。
x=1を代入したときの値とは異なります。

なので仮に x=1のときf(x)=1と定義されていたとしても f(1-0)=lim(x →1-0) {x^3+(1-a)x^2} の値は「2-a」です。

極限をとることの意味を教科書で今一度、確認してみて下さい。
f(1-0)=lim(x →1-0) {x^3+(1-a)x^2} =(1-0)^3+(1-a)＊(1-0)^2=1^3+(1-a)＊1^2=1+(1-a)=2-a

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

bran111

＞2-aをf(1)にしてもよいのでしょう

極限値の意味を理解してませんね。教科書を読み直してわかったら問題集をやりなさい。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

noname#231195

>x<1でf(x)が定義されているので、f(1)は計算できないような気がします。
それで合っています。

>問題集では、2-aをf(1)にしています。
どういう文脈でf(1)=2-aにしているのかわかりませんが、x=1のときにf(1)=2-aとする、と定義しているのかもしれません。

あるいはこういう文脈でもf(1)=2-aという事実を使います。
例えば、f(x)のx=1での連続性を確かめている場合です。
lim(x →1-0) {x³+(1-a)x²} =lim(x →1+0) {x³+(1-a)x²}=2-a
f(1)=2-a
であるから、関数f(x)はx=１で連続である。

いずれにしろx →1の極限値が2-aであることと、f(1)が2-aの値をもつことは全然意味の違うことです。