極限値ーーーー！！！

質問

教科書に「ある区間Iに含まれている任意のxに対してf'(x)が存在するとする。このときx＝aが区間Iに含まれていれば、x＝aにおける微分係数f'(a)は
f'(a)＝lim・f(x)-f(a)/x-aによって定義されるからxが十
　　　　x→a
分aに近いときf'(a)の値はf(x)-f(a)/x-aの値にほぼ等しいと考えられる。よってxが十分aに近いならば
f'(a)>0のときf(x)-f(a)/x-a>0である。」とあったのですが、f'(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、f(x)-f(a)/x-a=0となる場合もありうるのではないのでしょうか？
　　お願いします！！教えてください！！！

回答No.6

marpon · ベストアンサー

>f'(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、

まず「とても近い」の意味がわかりませんよね。あなたはどれくらいの値だったら0に近いと思いますか？
0.001ですか？0.00000001ぐらいですか？

質問者が疑問をもった原因は明らかです。
高校の微積分では極限を定義していないからです。
たぶん高校の教科書では極限の定義で「限りなく近づいていく」などと書いていますが、これでは全く説明になっていません。
「限りなく～」とか「近づく」はあくまで人間の感覚に訴える言葉で、数学的には全く理解できない言葉なんです。上に書いたように0.001が0に近いか遠いかなんて答えられないでしょ？

ですんで、高校の数学の範囲ではbell-bellさんの書いておられる解答以上に満足な解答は書けません。
ですが、解答にある「十分」という言葉は、意味はあいまいでありながら実は結構使われる言葉で、「十分」の意味は後ろに来る命題が成り立つくらいに「十分」ということです

>f'(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、f(x)-f(a)/x-a=0となる場合もありうるのではないのでしょうか？

質問者のおっしゃるように、もしf(x)-f(a)/x-a=0となってしまっても、もっとaに近いxをもってくれば、f(x)-f(a)/x-a>0が成り立つようにできるということです。これが「十分近い」という意味です。

厳密な証明はuyama33さんの書いておられるようにεーδを使う必要があります。これは通常、理系の大学1回生が学ぶ内容です。

εーδを使った
lim f(x) = b
x→a
の定義は次のようになります。

任意のε(>0)に対し、あるδが存在し、
|x-a| < δ を満たすすべてのxについて|f(x) - b| < ε

いきなりでわけわからないくなったかもしれませんが、じっくり考えてみてください。どんなεを選んだとしても「|x-a| < δ ⇒ |f(x) - b| < ε」が成り立つようなδが存在する。これがεーδを使った極限の定義になります。

εーδを使うと問題の厳密な証明もかけます。（質問者は混乱するかもしれませんが。）

f'(a) = 2 ε (> 0)とする。
f'(a)の存在からあるδに対し|x - a| < δ を満たすxに対し、|f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| < εが成り立つようにできる。
そのようなxについて
|f(x)-f(a)/x-a| > |f'(a)| - |f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| > 2ε - ε = ε　> 0
である。

回答No.9

mmky

追伸：
#2+#5です。皆さんの回答も出ましたので、
質問者に、参考までに追伸します。
＃5で参考に書いた定義は、1965年版「微分積分学精説：岩切晴二著」を参照したものです。ということで、昔はbell-bellさんの指摘でも正しかったということですね。
温故知新ということで、参考まで

お礼

お礼が遅くなってしまいすみませんでした！ありがとうございました！

回答No.8

marpon

>>|f(x)-f(a)/x-a| > |f'(a)| - |f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| > 2ε - ε = ε　> 0

>だけでは不足では? また三角不等式なら, 最初は"＞"でなく"≧"では?

oshiete_gooさんのおっしゃるとおりです。寝ぼけた式を書いてしまってお恥ずかしい。絶対値の記号が余分でした。

|f(x)-f(a)/x-a| > |f'(a)| - |f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| > 2ε - ε = ε　> 0

のところは

f(x)-f(a)/x-a >= f'(a) - |f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| > 2ε - ε = ε > 0
でした。
これで証明になったかな？

お礼

ありがとうございました！お礼が遅くなってしまってすみません！

回答No.7

oshiete_goo

＞もっとaに近いxをもってくれば、f(x)-f(a)/x-a>0が成り立つようにできるということです。

これを示すとすれば

＞|f(x)-f(a)/x-a| > |f'(a)| - |f(x)-f(a)/x-a - f'(a)| > 2ε - ε = ε　> 0

だけでは不足では? また三角不等式なら, 最初は"＞"でなく"≧"では?

お礼

お礼が遅くなってしまいまして・・ありがとうございました！

回答No.5

mmky

#2です。よくダシュが見えなかったもので、ごめん！
やっと意味とれました。
微分の定義ですね。
参考になると思いますので、正確に書いておきます。
(1)　関数f(x)のｘ＝a における微分係数が有限確定であるときにはf(x)は、
ｘ＝a　において微分可能である。区間Iの属するすべてのxの値に対して
f(x)が微分可能なときには関数f(x)は区間Iにおいて微分可能である。
(2)関数f(x)が区間Iにおいて微分可能であるときは、f(x)は区間Iにおいて
連続である。
(2)の証明
区間Iに属する任意の一つのxの値をaとするとき、ｆ(x)はx=a で連続であることを証明すればよい。
仮定によって　h→0　lim {(f(a+h)-f(a))/h}＝f'(a)（有限確定）
であるから
{(f(a+h)-f(a))/h}＝f'(a)+ε　とおくと
f(a+h)-f(a)＝ｈ｛f'(a)+ε｝,　ここでｈ→0　のとき、ε→0
だから　h→0　lim {(f(a+h)-f(a)}＝0
従って, x→0　lim f(x)＝f(a)
だから　f(x)は　x=a で連続である。

(3)h→0　lim {(f(a+h)-f(a))/h}＝f'(a)　が有限確定であるためには、
h→(-0) lim {(f(a+h)-f(a))/h}＝h→(+0) lim {(f(a+h)-f(a))/h}

ということです。
「f'(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、f(x)-f(a)/x-a=0となる場合もありうるのではないのでしょうか？」
の答になっていますか。
ずれてたらごめんね！
参考まで

お礼

お礼が遅くなってしまいました・・すみません！ありがとうございまいした。

回答No.4

toru1025

「xが十分aに近いならば・・・」 というところの、曖昧さからの疑問のように感じます。
「十分に」は「極端に」「徹底的に」と考えた方がいいようですよ。
「f(x)-f(a)/x-a」を「f'(a)」と見なしていいくらいに近いんです。

ですから、f'(a)が正のときは、ほぼ（徹底的に）f'(a)に近い値のf(x)-f(a)/x-a は、正となります。

「十分近い」という表現は、
f'(a)がゼロにとても近い値でも、f(x)-f(a)/x-aがゼロになってしまわないくらいに「十分に」正の値であるf'(a)に近い値と考えてみてください。

お礼

お礼が遅くなってしまいました・・ありがとうございました！

回答No.3

uyama33

昔の本ですが
高木貞治　解析概論

を、買うか
数学の先生に話して貸してもらうか
図書館で借りるかして

εーδ論法
の所を読むと
納得できる説明があります。

困るのは

十分aに近いとき

の十分の意味がはっきりしないからなんですね。

これを解決する方法が解析概論に書いてあるのです。

または、超準解析という本には
別の考え方が書いてあるのですが、
面白いけど大変です。
まずは、挑戦してみて下さい。

お礼

ありがとうございました！お礼が遅くなってしまってごめんなさい！

回答No.2

mmky

「f(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、」
この条件は要りませんね。
「f(x)-f(a)/x-a=0となる場合もありうるのではないのでしょうか？ 」
ということですが、{f(x)-f(a)/x-a }は、ｘ=a では　0/0
となって不定ですね。X=a 以外では　f(x)-f(a)　と　ｘ-a の比でしょう
これが0になるためには、f(x)-f(a)＝0　で　ｘ-a≠0　だよね。
こういう場合があるのでは？という質問だよね。
ところがね、f(x)とf(a)は非常に近いお隣さん同士だからｘ-a≠0時には、
やはり0にはならないんだね。
証明がないと納得できないよね。
f(x)=x としてみよう。ｙ＝ｘのグラフだね。x=1 の近傍で考えてみるね。
ｆ(a)=f(1)=1 だね。ｘを1に近づけると限りなく1になって、例えば
0.9999999999999　としようね。x-a=1-0.99999999999　=0.0000000000001
になるね。このときｆ(x)-f(1)=0.0000000000001
当然、同じ値だから比は1だね。　ゼロにならないね。
f(x)=x　でやってみたけど、初期条件を満たすどの関数を使っても同じなんだ。ということで、
f'(a)＝lim｛f(x)-f(a)/x-a｝→Ｋ
　　　a→0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
は、収束するんだね。
ということで、残念だけどないんだね。いい答えでなくてごめんね！

補足

えーっと・・読みずらかったですね。ごめんなさい！！「f(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、」 と見えちゃうかもしれないんですが、「f '(a)が正であり、かつ0にとても近い値だったとしたら、」なんです。ごめんなさい！こうだとどうなるんでしょうか？？？

回答No.1

eatern27

＞f'(a)＝lim・f(x)-f(a)/x-aによって定義されるからxが十
＞　　　　x→a
これは
lim[{f(x)-f(a)}/(x-a)]によって…
x→a
のことですよね?

f'(a)が正であり、かつ0にとても近い値というのは０ではないので
{f(x)-f(a)}/(x-a)=0にはなりません。

質問文に書いていることで言うのなら
＞f'(a)の値は{f(x)-f(a)}/(x-a)の値にほぼ等しい
＞xが十分aに近いならばf'(a)>0のとき{f(x)-f(a)}/(x-a)>0である
これでわかりませんか？
つまり、Ａ＝ＢでＡ＞0のときＢ＞0がいえる
「ほぼ等しい」というのが気になっているのかもしれませんが、符号が違うならで「ほぼ等しい」とは言えないでしょう。

お礼

お礼がとても遅くなってしまってすみませんでした！ありがとうございました！