両辺に不定積分を取ることにてです。

質問

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

あと、
定積分
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

（⇔：同値）

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

積分範囲を確認する必要があります。

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）　　　（1）

はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。

逆に（1）の成り立つ範囲（a~b）に含まれる２点c,xを考えると

a≦x<c≦ｂ

の条件下で

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫[c→x]ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫[c→x]ｇ（ｘ）ｄｘ

これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。

＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

上記の意味で成り立ちます。

お礼

ありがとうございますっ！
＞ ＞ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
は成り立ちますか？

積分範囲を確認する必要があります。

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）　　　（1）

はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。

逆に（1）の成り立つ範囲（a~b）に含まれる２点c,xを考えると

a≦x<c≦ｂ

の条件下で

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫[c→x]ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫[c→x]ｇ（ｘ）ｄｘ

これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。

結局、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ は全ての範囲において成り立つという事ですか？

回答No.5

jmh

> 確実にならばは成り立つんですね。
> 高校数学においては、

ちょっと調べました。不定積分∫ｆは微分するとｆになる「すべて」の関数を求める操作のようです。結果として積分定数を含んだ形になりますが、パラメーターを含んだもの同士を (同じモノを表していても) 等号で結ぶということはできないような気がします。それで「∫ｆ＝∫ｇ」とは書かないと思います。

例えば、ｙ＝２ｘを積分して、Ａさんはｘ^2＋Ｃ、Ｂさんはｘ^2＋Ｋ、Ｃさんは２ｘ^2＋Ｒと答えたとして、Ａさんの答えとＢさんの答えが「同じ」だということを「ｘ^2＋Ｃ＝ｘ^2＋Ｋ」とは書かないと思います。Ｃさんの答えは「違う」ということを「ｘ^2＋Ｋ≠２ｘ^2＋Ｒ」とも書かないと思います。

お礼

ありがとうございます(^^♪
そうなんですね～。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>確実にならばは成り立つんですね。

何だろう？？　連続のこと？

お礼

ありがとうございます。
＞(=>) ｆに何んかして△ｆを求める操作△：ｆ→△ｆがあるときに「ｆ＝ｇならば△ｆ＝△ｇ」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。
の事です。

回答No.3

jmh

> ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
> は成り立ちますか？

(=>) ｆに何んかして△ｆを求める操作△：ｆ→△ｆがあるときに「ｆ＝ｇならば△ｆ＝△ｇ」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。

(<=) これは∫の方法によると思います。ｆとｇがある１点において異なる値をとったとしても、それらの「定」積分はすべて同じになったりしますから。

お礼

ありがとうございますっ！
確実にならばは成り立つんですね。
高校数学においては、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ、
ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
が成り立つという理解でいいですか？

回答No.2

noname#201335

> ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘ
> は成り立ちますか？

不定積分の相等を考えるのは無意味です。

関数ｆ，ｇ，Ｆ，ＧについてＦ’＝ｆ，Ｇ’＝ｇという関係があるとき
”ｆ＝ｇ⇔Ｆ＝Ｇ”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。
そしてこれはもちろん成り立ちません。

> ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）⇔∫［a→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［a→b］ｇ（ｘ）ｄｘ
> は成り立ちますか？

ｆ，ｇ，ａ，ｂ，ｘについての情報がなく、右辺が意味を持つかどうかが不明なので意味がないです。

ａ，ｂが実数であり関数ｆ，ｇが区間［ａ，ｂ］で積分可能なとき
”ｆ＝ｇ⇔∫［ａ→ｂ］ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫［ａ→ｂ］ｇ（ｘ）ｄｘ”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。
そしてこれはもちろん成り立ちません。

お礼

ありがとうございます。
そうなんですね。