- ベストアンサー
３元の代数系における０＾０＝１の妥当性
- ３元の代数系で０＾０＝１の妥当性について検討します。
- 体でない代数系では０＾０＝１となることがあります。
- 0の逆元を持ち、分配法則が成立しない場合に０＾０＝１となることがある。
- みんなの回答 （28）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
←No.1「お礼」欄 ＞ 前回の質問では、0*0=0 を捨てたら乗法ではないという条件が提示されました。 ＞ 私が求めているのは、そういう数学的な回答です。 「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 ことは同じですが。 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には コンセンサスは無いんじゃないかと。それを越えて、分配法則の成り立たない「乗法」を 提案するのは、独創性なのか、恣意性なのか。 ＞ 数学的に何のことを言ってるのやら。 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。「加法」と「乗法」の区別は、分配法則で決まる。…とでも書けば、 貴方にとって「数学的」ですか？
その他の回答 (27)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
今回の X の例が当に、 体に無限遠点を加えて 0 の乗法特異性を解決すると、 今度は、無限遠点が加法特異になる。どっちをとるか… という状況を描き出していると思うがなあ。 貴方は 0^0=1 にさえなれば後はどうでもいいのだろうが、 引き算が行えない代数系で何の計算ができる？ あるいは、z のような元をもっと増やして上手く構成すると、 この点が改善できるだろうか？ 御手並み拝見。 A No.7 に、いいことが書いてある。 ＞ 何かを説明しうるかについては、議論の余地がありそうです。 0^0=1 を得た代わりに、大部分の計算を失ったのでは、 得失が釣り合わないように思うので。
お礼
> 貴方は 0^0=1 にさえなれば後はどうでもいいのだろうが、 > 引き算が行えない代数系で何の計算ができる？ また思い込みですか？ 引き算は x-y をちゃんと定義すれば行えます。 -y を加法での逆元と考えると、それは未定義。 でも、 x-ay = x+(-a)y と定義してやれば y=Z の時は x-aZ = x+(-a)Z = x+Z (ただし a≠0) であり、たとえ Z-Z であろうと計算できます。 よって、四則演算で計算できないのは 0/0 だけですね。 > 0^0=1 を得た代わりに、大部分の計算を失ったのでは、 > 得失が釣り合わないように思うので。 何も失われていません。 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
#5,6です。 >私の今回の方法は、複素平面に無限遠点を追加してリーマン球面にすることに相当してると考えています。新しい代数系ではなく、既に考えられているでしょう。 なるほど！と思います。そういわれると、Ｚの質問中の加法・乗法の定義は∞の性質と対応が見え隠れしていますね。私の考察が浅かったというほかありません。 しかし、結論が何も主張していないことは変わりません。 >加法の単位元を０で表し、乗法の単位元を１で表すとき、０＾０＝１となる。 >…という例が存在する。 >つまり、体に０の逆元を添加し、分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。 この主張における、>…という例が存在する。 は、存在しないので存在しないものを形式的に定めたわけであり、これは代数系の“例”ではありません。定めるだけなら、どんなこともできる。 ただ、このことは、>…という例が存在する。 という主張に意味がないと思うだけで ２乗して―１になる数は存在しない → それを i と表現しよう ０の乗法逆元は存在しない → それを Z と表現しよう 形式的に考えられたＺが、何かを説明しうるかについては、議論の余地がありそうです。
お礼
> これは代数系の“例”ではありません。定めるだけなら、どんなこともできる。 「どんなこともできる」は言い過ぎでしょう。 矛盾があってはいけないし、どういう法則を守るかで制限が掛かります。 たとえば、複素数と四元数の間に三元数は作れません。 今回なら、従来の演算を守らなければならないから、非常にきつい制限が掛かる。 > 形式的に考えられたＺが、何かを説明しうるかについては、議論の余地がありそうです。 代数がリーマン球面的になります。 分かりやすく言えば、並行した直線が、無限遠点で交差します。 もちろん、直角に交差した直線であっても、無限遠点で交差します。 つまり、一次連立方程式は、従来の解に加えて、変数がすべて０の逆数も解になります。 tan(x)は、連続関数へと変わります。 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
#5です。 すみません。 ↓の部分は飛ばしてください。これだと、z=0となる？？ このことに関係なく、新しい代数系が構成できていないことには変わりありません。 -------------- ここから数行は読みとばしても構いません（´・ω・） 例えば、以下のように加法を定義したらどうでしょう？ ＋｜０１Ｚ －－－－－ ０｜０１Ｚ １｜１０１ Ｚ｜Ｚ１０ このように加法を定義すると、 >・加法単位元は0で、Z以外は逆元 -0=0, -1=1 が存在する。 の部分を書き換えて、-Z=Z を加えることができます（すべての元について加法の逆元が存在するようにもできます） ----------------------------------------------
お礼
> 今回の集合Ｘについてですが、私は違和感を覚えます。というのも、新たに付加した元Ｚは、単に、Ｚ＊０＝０＊Ｚ＝１となる元を形式的に定義しただけであり、それ以上の何も定義していないのでは？と思うのです。 > > 同じことですが、０の乗法逆元が存在しないので、それを“あたかも存在するかのように、Ｚという表記を当てはめただけ”であり、Ｚと０との乗法以外の定義に意味が見出せません。 そうですよ。 ただ、私はこう思います。 ２という数は、単に、１＋１＝２となる数を形式的に定義しただけ。 －１という数は、単に、－1＋１＝０となる数を形式的に定義しただけ。 iという数は、単にi*i=-1となる数を形式的に定義しただけ。 それをあたかも存在するかのように、表記してるだけだと。 特に虚数は、二次方程式を解くための形式的な計算だと長い間思われてましたね。 形式的に定義した記号がどういう性質を持つのか調べるのが数学というものでしょう。 そこを否定しては、数学という学問は成り立ちません。 > -Z=Z を加えることができます 結合法則を失っては意味がありません。 1+1+2 で考えると 1+2=2 とする必要があり、 1+2+2 で考えると 2+2=2 とする必要があります。 > 分配法則など、２項演算以上の性質が見出せない限り べき乗は、「２項演算以上の性質」に当たると思いますよ。 それに、行列はただ単に、数字を並べただけ。 基本的には、加法だけが定義されている。（列数や行数が合わないと積はできない） あなたの要求は、贅沢すぎると思います。好みの問題ですが。 > 今回も、ここで述べられているような、新しい代数系の構成に成功したわけではありません。 今回は、あまり説得力を感じません。 私の今回の方法は、複素平面に無限遠点を追加してリーマン球面にすることに相当してると考えています。 新しい代数系ではなく、既に考えられているでしょう。 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
３元に挑戦したのですね！多難な活動にも関わらず、日進月歩で研究が進んでいること、羨ましく思います。 今回の集合Ｘについてですが、私は違和感を覚えます。というのも、新たに付加した元Ｚは、単に、Ｚ＊０＝０＊Ｚ＝１となる元を形式的に定義しただけであり、それ以上の何も定義していないのでは？と思うのです。 同じことですが、０の乗法逆元が存在しないので、それを“あたかも存在するかのように、Ｚという表記を当てはめただけ”であり、Ｚと０との乗法以外の定義に意味が見出せません。 -------------- ここから数行は読みとばしても構いません（´・ω・） 例えば、以下のように加法を定義したらどうでしょう？ ＋｜０１Ｚ －－－－－ ０｜０１Ｚ １｜１０１ Ｚ｜Ｚ１０ このように加法を定義すると、 >・加法単位元は0で、Z以外は逆元 -0=0, -1=1 が存在する。 の部分を書き換えて、-Z=Z を加えることができます（すべての元について加法の逆元が存在するようにもできます） ---------------------------------------------- 結局のところ、Ｚと｛０、１、Ｚ｝との加法も、形式的に定めただけであり、分配法則など、２項演算以上の性質が見出せない限り（私が見出せないだけ？）ほとんど何も定義していないことと同じだと思うのです。 繰り返しですが、 『単に、０の乗法逆元を表す手段がないので、０＾（－１）＝Ｚと表記したにすぎない』 のではないですか？Ｚにそれ以上の意味が見出せません。 したがって、 >加法の単位元を０で表し、乗法の単位元を１で表すとき、０＾０＝１となる。 >…という例が存在する。 > >つまり、体に０の逆元を添加し、分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。 >ここまでの計算とこの結論は妥当ですか？ 今回も、ここで述べられているような、新しい代数系の構成に成功したわけではありません。 ゆえに、ここでの議論は結論に何も妥当性を与えていません。
お礼
ここに書くべき内容を#6に書いてしまいました。 よって、そちらを参照してください。 失礼しました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←No.3「お礼」欄 ＞ あなたの思い込みという可能性が否定出来ない。 ＞ コンセンサスがないから私の意見に従え、というのもおかしな話だし。 「可能性が否定出来ない」ですか… その理由で、だからアンタの意見は認めない というのであれば、 他人に意見を聞くこと自体が成り立ちませんよ。別段、私の意見に従えとは 言っていないが、普通はこんなもんだよ という話をしている訳で。 否定するにしても、少しは吟味してからにしたら どうですか？ 代数系が環や体でなければ、「乗法」と呼んだものが何でも乗法だ という考えは、あまり健全とは思えない。A No.3 が不満であれば、 貴方にとって「乗法」とは何なのか、自分で定義すればいいでしょう。 その内容に誰が反対意見を言っても、気にすることはありませんが、 「乗法」の概念そのものを定義せずに、個々の例を「乗法である」と定義 するのは明らかに欠陥です。 四元数と八元数については… 四元数は、普通の非可換環だし、(可換環のみを環と呼ぶのは、一部の教科書の ローカルルールです。そうやるときは、必ず序章に断り書きがしてあります。) 八元数は、環ではないけれど、それでも分配法則は成り立っているから、 私の流儀でも、加法と乗法を区別することはできます。
お礼
> その理由で、だからアンタの意見は認めない というのであれば、 > 他人に意見を聞くこと自体が成り立ちませんよ。 他人の意見をより深く聞きたいからこそ、こう言っているのですがね。 中途半端な意見を聞いて納得するのは危険です。 思い込みかと聞かれて反論できてこそ、信じれるものではありませんか？ 好意で答えて貰っている身としては良くない態度ですが、曖昧にできないのは私の性格ですので許してください。 良く言えば、私は探究心が強いのです。 > 八元数は、環ではないけれど、それでも分配法則は成り立っているから、 > 私の流儀でも、加法と乗法を区別することはできます。 結局、分配法則が成り立つものが乗法なんですね。 逆に言えば、分配法則さえ成り立つなら、乗法や加法である、と。 それならそれで良いですけど、何故そんなに分配法則が重要なのか分かりません。 何の役に立つのでしょう？ 答えられれば、答えてください。 回答ありがとうございました。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
alice_44さん >論理に破綻は無いが、言葉遣いが恣意的過ぎる >ので、証明した以上のことを言外に主張して >しまっている点が、イマイチ。 まったく同感． こういう微妙な問題を考えるときは 類推というノイズを混入を積極的に避けるためにも あえて抽象的にして，言葉使いを慎重にするのが定石です． 質問者自身だって考えている集合の「0」と， 実数の「0」を混同して間違った主張をしたでしょう？ >それもただの習慣で、それ自体に理由はない。 わざわざ習慣になるということは それなりの意味があると謙虚に考えましょう． そして習慣というのは結構恐ろしいものです． どんなに正しいことを主張しても， 習慣やら慣習に反すると門前払いになることも多々あるものです． ＃まあ，こんなののいい例はお役所ですが， ＃数学的ではないとかいうのでしょう． ＃けど，数学をするのは人間なんですよ． 数学をしましょう．この話は， 何らかの代数系Xで，写像f：X x X -> Xが存在し， 整数環Zに対して， 写像F: X x Z -> Xで以下の性質をもつものが定義できているとする (1) F(x,n+m)=f(F(x,n),F(x,m)) (n,m=1,2,3....) (2) F(x,n)(n=1,2,....)に対して Xのある要素yがただ一つ定まり，f(y)=F(x,n)を満たす (3) F(x,-n) = y (n=1,2,3....)， ここでyはF(x,n)に対して(2)で確定するyである このとき，Xのある要素zとeが存在して F(z,0)=e である． このような代数系Xは存在するのか？ 存在するならば，Xにはどのような構造を要請すべきなのか？ zやeにはどのような性質があることが望ましいのか？ というのと何か違うのでしょうか？ 「和」とか「積」とか「べき」とか「指数法則」とか 「連続性」とかそういうものを一切削ると，こんな表記になりそうです． で・・・実はXの演算はまだ一個しか使ってないわけです．
お礼
> 質問者自身だって考えている集合の「0」と， > 実数の「0」を混同して間違った主張をしたでしょう？ そんな記憶はありません。 > わざわざ習慣になるということは > それなりの意味があると謙虚に考えましょう． 意味があるからこそ、それを確認する必要があります。 意味を理解して従うことと、習慣にただ流されるのでは大きな違いがあります。 私は前者でありたいと思い、後者には何の価値も見出しません。 > Xのある要素yがただ一つ定まり，f(y)=F(x,n)を満たす 確認ですが、y=F(x,n) ではないですよね？ > このとき，Xのある要素zとeが存在して > F(z,0)=e > である． zは、Xの任意の要素でなければなりません。 > 実はXの演算はまだ一個しか使ってないわけです． もう一つの演算には、Xを位相空間にするために役に立って貰いたいですね。 そして、yがxに近いなら、F(y,n)もF(x,n)の近くだとしたい。 「連続性」は必要でしょう。 (1)の条件は、写像fが閉じていれば、それだけで満足してそう。 よって、(1)を外して、F(x,1), F(x,-1), F(x,0)だけを考える方が簡単で良い。 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
書いてある内容自体は、妥当です。 今回は、X の部分代数として二元体 F2 があり、 「体を拡張して」という要件も満たしていますね。 素晴らしい。 気になる点と言えば、X の演算 +, ＊ は、 部分代数 F2 で加法,乗法になるとはいえ、 X では分配則が成り立たないので、 これを X の加法, 乗法と呼ぶ理由が特に無い …ということです。 X では、+ が群にさえならないので、 + が乗法, ＊ が加法でもよいのではないか？ だとすると、∧ を巾乗と呼ぶのもどんなもんか？ と。 論理に破綻は無いが、言葉遣いが恣意的過ぎる ので、証明した以上のことを言外に主張して しまっている点が、イマイチ。
お礼
> X では分配則が成り立たないので、 > これを X の加法, 乗法と呼ぶ理由が特に無い 数学的に何のことを言ってるのやら。 ○○を××と呼ぶには……という条件が必要というなら分かるが、 理由がないというのなら、定義にはそもそも理由は存在しない。 分配法則が成立する場合に加法、乗法と呼びたいのは理解できるが、 それもただの習慣で、それ自体に理由はない。 > + が乗法, ＊ が加法でもよいのではないか？ 今回の方法は、もっと一般的な有理数体などでも可能です。 その場合に、さすがに言葉の入れ替えは無理でしょう。 > 論理に破綻は無いが、言葉遣いが恣意的過ぎる > ので、証明した以上のことを言外に主張して > しまっている点が、イマイチ。 加法および乗法がそう呼ばれるための条件を示してください。 そして、そうしなければならない理由も。 前回の質問では、0*0=0 を捨てたら乗法ではないという条件が提示されました。 私が求めているのは、そういう数学的な回答です。 回答ありがとうございました。
お礼
>「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 > ことは同じですが。 従来の体の演算と異なる結果が出てくるのでは、元の演算とは呼べないというのは説得力があります。 > 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと > 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が > あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には > コンセンサスは無いんじゃないかと。 あなたの思い込みという可能性が否定出来ない。 コンセンサスがないから私の意見に従え、というのもおかしな話だし。 > 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。 可換でない多元体としては、四元数がある。 結合的でない多元体としては、八元数がある。 環の定義では、乗法は結合的でなければならない筈。 八元数で乗法という言葉を使うのは誤りだという主張ですね？ 回答ありがとうございました。