アルキメデスの公理を否定すると…

質問

アルキメデスの公理が成り立たない数を考えています。
たとえば超実数というものがあるらしいですね。
そこで、「自分なりの超実数」を考えてみました。
＃一般的なものとは異なります。
実数は、通常の定義を満たすものとします。
矛盾起こしてませんか？

--- ここから ---
すべての実数は、超実数を元とする連続体濃度の開集合である。
a+0=a で定義される 0 は、0.000…で表される超実数の集合である。
可算個の桁数では超実数を正確に記述できない（区別できない）。
超実数は、加法と乗法の単位元、逆元を持たない。
超実数は、加法と乗法の結合法則、交換法則、分配法則を満たす。
超実数同士の四則演算は、ただ一つの超実数に対応する。
--- ここまで ---

なお、各項目を証明しろと言われても困ります。
＃本当は、もっと続きがあります。

回答No.1

c_850871

私はこれには全く疎いですが，これはおかしいですね．

>超実数は、加法と乗法の結合法則，交換法則，分配法則を満たす．

とあるのに

>超実数同士の四則演算は，ただ一つの超実数に対応する．

減法，除法が成立しないのに，四則混合と書いておられることが矛盾であると思うのですが．

いかがでしょう?

お礼

減法、除法が成立しないという訳ではないのですが、何をそういうのかについては難しいものがあります。
その仕方によっては、確かに矛盾になる可能性がありますね。
＃実は、加法さえ定義できていないので、希望を書いたに過ぎないかも…

ありがとうございました。