０の０乗は１、にしたい（続き）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
の続きです。

０の０乗の値について、不定だとか未定義だとかの意見があります。
でも、１と定義しても無矛盾だし、１以外では矛盾が生じます。

そこで、べき乗（累乗）の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

＃負の整数乗、有理数乗、実数乗などへの拡張は、従来のような方法で行われるとします。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

なお、常識的には…という話は、遠慮願います。
＃Wikipediaも変わりますので。

これまでの議論で主張したこと：
(1) 従来のべき乗の定義は、１から始まるので不自然。加法や乗法は０から始まる。
(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。
(3) ０及び正の整数乗は、すべての実数に対して計算できる。負の整数乗は正の整数乗の逆数として計算できる。（０のべき乗以外）
(4) ０＾ｙ＝０という式はｙ＜０で成立しない。それをｙ＝０まで拡張するのは不自然。
(5) ０＾０＝０は、関数０＾ｙについて、ｙ＝０で連続性が破綻しないから不適当。
(6) lim[x→0,y→0]x^yは不定であるが、０＾０＝１と矛盾しない。
(7) ｘ＾ｙ形式の連続な式で、ｘ＝０、ｙ＝０の時、その値が１以外に定まる式は存在しない。
(8) １である根拠は、０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０。

たぶん、このどれかが成立しなければ、最初の定義は怪しくなります。
＃(7)は、表現に不備がある可能性があります。

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

前回の質問におけるたくさんの回答者さんの結論ではっきりと終わってると思いますが結論は「自然数を相手にする限りその定義で問題無い」です。自然数の指数のやり取りだけが問題になってるのですから。他への関連性は全くないです。更にそのように定めて何か得することがあるのかと言えば皆無だと思います。0^0を定義しなければならない状況にこれまで遭遇したことは多分無かったと思います。便宜上0!=1と定義することは多々ありましたが（ただこの場合は階乗の拡張であるΓ関数と矛盾することがない、すなわちΓ(n)=(n-1)! (n≧1)ですがn=0として自然に連続に拡張できる）。
連続性が絡んでくると0^0をどのように定めてもx^yは連続にはならないことはすでに示されてます（例えばlim[x→∞] x^{-1/(log x)} (=1/e)から明らかですね）。

以下個人的意見ですが数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。上で挙げた階乗との比較ですが0^0の場合は連続に拡張できることもなく単にその値を定義しただけのように思われます。一方0!=1の定義自体何と言うこともないですが（これもこれだけでは全く面白みがない、便利なことはしばしばですが）、実は背景に「Γ関数」なるものが潜んでいて結果0!=1という定義の正当性を遥かに超えて解析、数論において数え切れないくらいの貢献をしてるということはほとんどの人が認めるところだと思います。要するに定義はどうでも良いというか何か「面白い事実（言い換えると非自明な事実）」が得られるのかということです。基礎論の人はそう思ってないかもしれませんが。

お礼

＞数学で大事なのは単に定義するのではなく（とても便利ならそれはそれでよいですが）その定義の背景にある理論の深さだと思います。

便利かどうかでやってたら、それは数学ではなく、算数です。
それに、０＾０＝１を定義しない数学は、浅く感じるんですよね。
もっと突き詰めて考えて、その結果定義できないという結論なら納得ですが、面倒だから定義しない、というのは、情けないです。

０＾０とその近傍の構造は、（無限大を考えるのと同じくらい）面白い事実（非自明）と思えるのですが…
それに、Wikipediaでも１つの項目になるほど、関心が高い問題だと思います。
でも、あなたに興味がなければ、無視していいです。

ありがとうございました。

回答No.49

myda

#48の「お礼」欄への回答です(回答する他のやり方ってあるんですか？＞逆質問)

>1/xはxの逆数の表現であり、x^(-1)も逆数の意味だと受け取っているのですが、違うでしょうか？

違います．「計算の結果，一致する」ということは言えますが．．．．．

ちょっとだけ回り道をさせてください．数学的に言うとどうしても必要になるので(群論あたりの話です)．まず，実数全体の集合Rを考えます．そして演算子としてかけ算(*)を考えます．このとき，逆元(逆数のこと)は次のように定義されます：
xをゼロでない実数とする．このときあるy in R が存在してx*y=1が成立する．このyをxの逆元と言い，xの逆元をx^(-1)と書く．

だから，xの逆数(=逆元)はx^(-1)のことです．1/xは逆数じゃありません．じゃあ，x^(-1)=1/xが成り立たないのか？っていうとそうじゃなくって，x^(-1)=1/xとおくと(仮定)，指数法則を使って
x*(1/x)=(x*x^(-1))*1/(x*x^(-1))=1
と計算できるというだけです．

「定義の意味での等号」なのか，「計算した結果の等号」なのかがごちゃごちゃになってませんか？「x^(-1)=1/x」の等号は，計算した結果の等号です．(8)の式での0^0=1というのの等号は，「定義の意味での等号」ですよね？

で，あといらんことをちょっとだけ
あと，ちょっと気になったんですけど，0^0って収束するんですか？(6)でlimの存在を頭っから言っていますけど，それってlimsup=liminfを考えてます？limの値(極限値)の存在はtrivialじゃないですよ．

お礼

えと、逆と思ってました。
y=□×x
この時の□を求める演算を
□=y÷x
と定義して割り算と言う。
分数は、次のように定義する。
y/x=y÷x

y=1とするならば、
1=□×x
を満たす□を、
1/x
と記述する。

つまり、1/xが逆数なのは、記号の定義から明らかだけど、x^(-1)は計算か何かで出てくるのか、と思ってました。

＞0^0って収束するんですか？

収束します。
存在が示せないので、まだ宗教みたいなものですけど…(笑)
基本路線は、lim[x→0]x^0以外の極限値が存在することの否定です。
ちゃんと言葉に出来たら、その３の質問として始めます。
＃ほぼまとまりつつありますが…

ありがとうございました。

補足

新たに関連する質問をしましたので、この質問はそろそろ締めます。
まだこの質問へのコメントが残っている場合は、新しい質問にお願いします。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4375134.html

回答No.48

myda

#47の「お礼」欄でさらに疑問が出てきてしまったのですけど．

>この式は、指数法則からぽっと出てくるんですが

この文章がわかりません．

まず，「この式」っていうのは「０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０」ですよね？

指数法則って，次の３つですよね？
1.(a^x)*(b^y)==a^(x+y)
2.a^(xy)=(a^x)^y
3.(ab)^x=a^x*b^x

ついでに，あとで使うからこんなことも書いておきます．
指数法則の系
a^xが0でないなら，a^(-x)=1/(a^x)

ここから，どうやって「０＾０＝０＾（－０）＝１／０＾０」がぽっと出てくるんですか？ひとつひとつの式変形を吟味していくと，
「
＠0^0=0^(-0)の部分
ここは，0=-0を使ってるだけ．指数法則とは関係ない

＠0^(-0)=1/(0^0)の部分
ここで「指数法則の系」を使う．0^0=1を仮定すると，(前の回答と同様に)0^(-0)=0^(-0)/1=1/(0^0)となる
」
問題は２つめの＠なんですけど0^0=1だとおもいっきり仮定しないといけないですよね？ようは「指数法則を使ってtrivial」という部分はtrivialじゃないんです．

たぶん，指数法則に，「a^(-x)=1/(a^x)」があると思われているんだと思うんですけど，それは「証明されるべき命題」でして，その証明のときに必ずa^xが0でないという仮定を置いてます．(ちなみに，0^0は0 or 1以外になることはないことを示すのは簡単ですよね？)

ようは(8)に関しては循環論法をしてますよ，っていうことをわかってほしいんですが．

以下，質問とは関係ない個人的な意見ですけど，
ちなみに，個人的には1だろうが0だろうがどっちでも良いかな，と思います．おそらく今の数学は「どっちでもいい」という前提で作られているので(もちろん公式に若干の差はありますがそれは本質的じゃない差です)．たぶん，0^0=1だと決めても0^0=0と決めても，今のところ知られてる数学は問題ないはずですよ

お礼

a^xが定義されているとき、
a^(-x)=a^(x*(-1))=(a^x)^(-1)=1/(a^x)
ここで、1/xはxの逆数の表現であり、x^(-1)も逆数の意味だと受け取っているのですが、違うでしょうか？
a^(-x)=a^((-1)*x)=(a^(-1))^x=(1/a)^x
だから、a=0では計算できないという主張もありましたが、その順番でする必要があるとは感じませんでした。

＞個人的には1だろうが0だろうがどっちでも良いかな，と思います．

この意見は多いです。
実際、今回のことが証明できても、数学の理論が変わることはないです。
その点では、まったくの趣味ですから、「暇だな～」と思ってくれちゃってかまいません。
ただ、こういう細かい所にこだわることも、数学には必要かな、という気がしています。

それに、ずいぶんと身近に放って置かれた問題があったと思いませんか？
難しい未解決の××予想とかは無理だけど、これくらいは考えるのにちょうど良いですよ。

ありがとうございました。

回答No.47

myda

#45について，です．説明不足でした．申し訳ありません

>0^(-0)は分数の形じゃないので、意味が通じません。
>0^(-0)=1/(0^0)の両辺に、0^0を掛けるという意味で良いでしょうか？
>0^(-0)*0^0=1となり、0^(-0)=0は出てこないのですけど…

0^0=(0^0)/1のことですよね？
「/1」は省略できますから
たとえば，2=2/1と考えるように．

もうひとつ．分数について，次の性質(ゼロ割の禁止)が成り立ちます：
「すべてのxとすべての整数n(ただし0は除く)について，x=x*n/n」
ようは0でわることはできない，ということを主張してるだけなんですけど．

そこで，本題に戻ってみます．私が言いたかったことはこういうことです：0=-0は認めるとして(証明できます：0+0=0より0の逆元は0.だから-0=0)
[仮定]0^0=0とする．
仮定より，0^(-0)=0^0=0
よって，0^0=0^(-0)=(0^(-0))/1．ここで，分母分子に0^0を掛けたいが，0^0=0よりそれはできない(ゼロ割の禁止)．だから，
0=0^0=0^(-0)=(0^(-0))/1=0
となり矛盾はしない

ということです．(8)の式変形って，こういうことですよね？
[仮定]0^0=1
仮定より，0^0=0^(-0)=1
だから，0^0=0^(-0)=0^(-0)/1=*=(0^0*0^(-0))/0^0=1/(0^0)

これは*のトコで0^0=1を使ってるから，0^0=1が成立する根拠にはなりませんよね？これを初めと最後の項ダケ見て
「0^0=0だったら0^0=1/(0^0)は成立しないじゃん」
というのは間違いだと思いますよ．

お礼

理解した気がしますが、また違ってたら、遠慮なく指摘してください。

(0^(-0))/1になって、その次の式まで変形するために0^0を分母分子に掛けなければいけない。それは0^0=0を仮定した場合は不可能であるので、その先は意味が無く、よって矛盾しない、ということでよろしいでしょうか。

もし(8)が、式の変形を行っているように見えたなら、誤解させてしまってすみません。
この式は、指数法則からぽっと出てくるんですが、私はそれを「信じて」いるので、それが0^0=1の根拠です、ということなんです。
これは、証明でも何でもないので、これだけでは0^0=1の根拠にはなりません。
ただし、これを否定するためには、指数法則も否定しなければいけません。
それは考えにくいんじゃないですか、と言っているのです。

話の流れの中で出てきた主張を、説明も無く使ってしまって、済みませんでした。

ありがとうございました。

回答No.46

myda

(8)について質問させてください．

>１以外では矛盾と言っているのは(7),(8)。
と書き込みされているようですが，少なくとも(8)は0^0=0でも矛盾しませんよ．

(8)の主張をしっかり書いてみると，
「0^0=1と仮定する．このとき，1=0^0=0^(-0)=1/(0^0)=1」ということですよね．これ，かなり仮定が効いてて，0^(-0)=1/(0^0)の部分で仮定を使ってますよね．

ちなみに，「0^0=0」を仮定してやると，「0^0=0^(-0)」でStopしますね．というのはもし，0^(-0)=1/(0^0)しようとするとき，0^(-0)の分母分子に0^0を掛けますよね．で，分母には絶対に0はこないので，0^0=0を仮定すると，0^(-0)=0となるだけなんです．

だから，(8)の式は0^0=0でも矛盾するわけではないですよ

お礼

＞0^(-0)=1/(0^0)の部分で仮定を使ってますよね．

指数関数の公式を使ってます。
x^(-y)=1/(x^y)
これは、x=0以外の場合に成り立ちますが、それをx=0でも成り立つという仮定を使っています。
つまり、(8)は、指数関数の公式がx=0でも成り立つならば、0^0=1が求まることを示しています。

＞0^(-0)の分母分子に0^0を掛けますよね．

すみませんが、分からないところがあります。
0^(-0)は分数の形じゃないので、意味が通じません。
0^(-0)=1/(0^0)の両辺に、0^0を掛けるという意味で良いでしょうか？
0^(-0)*0^0=1となり、0^(-0)=0は出てこないのですけど…

それとも、別の意味なのでしょうか？

ありがとうございました。

回答No.45

Tacosan

や, それは #39 の
「もしかしたら整数での指数の定義、R^2の距離をそれぞれ適当に変えれば、
0^0を他の値に矛盾なく変えることができるかもしれません。」
に対するものなので, (0, y) じゃないとダメです.
ところで, 「x^0 だけが 0^0 を通る」って, どういうこと? 「(x, 0) という点の軌跡だけが (0, 0) を通る」という解釈でいい? もしそうなら, 「ユークリッド空間に同相な空間」では無理だと思うよ.

お礼

＞(0, y) という形の点のみが (0, 0) の近傍になるような「距離」を定義すれば x^y の (x, y)→(0, 0) における極限は 0 になります＞#39.

勘違い分かりました。
同じ考えで極限は０にもなるよ、と言いたいのですね？
確かに、距離だけをいじるとそうなりますね。
だから、同相であることも、今度は条件に入れます。

証明したいのは、
・「ユークリッド空間に同相な空間」でないこと
・0^yが0^0で不連続になる理由（その前に曲線の定義）
の二つになると思います。

ありがとうございました。

回答No.44

jmh

> 計算できれば定義だけど、計算できなければ定義でないというのは、
> やってみなければ分からないことです。
>
確かに。そういうこともありますね。
貴方のベキの定義は、Well-defined だと思います。…で回答になってる？

ところで、_も_し_も_「(2) 従来のべき乗の定義との違いは、０＾０の値についてだけである。」が分かってるなら、最初の定義の仕方なんてどうでもよくて、単に最後に「０＾０＝１とする」でいいのでは？

# もしかして、最近は（ｘ，ｙ）→ｘ＾ｙの（０，０）の周辺での
# 挙動（連続性？）が問題になってる？

お礼

＞貴方のベキの定義は、Well-defined だと思います。…で回答になってる？

こういう言葉で表現して貰えるとうれしいですね。

＞単に最後に「０＾０＝１とする」でいいのでは？

整数については、反論がないので、定義が成り立つと考えています。
でも、できるかどうか分かりませんが、目標は実数に広げることです。

＞# もしかして、最近は（ｘ，ｙ）→ｘ＾ｙの（０，０）の周辺での
＞# 挙動（連続性？）が問題になってる？

そうですね。
位相のことを勉強するため、関連質問を投稿しました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4360862.html
それが終われば、またこちらに戻ってくるかも…

ありがとうございました。

回答No.43

Tacosan

(0, y) という形の点のみが (0, 0) の近傍になるような「距離」を定義すれば x^y の (x, y)→(0, 0) における極限は 0 になります＞#39.
単に lim(y→0) 0^y を求めてるだけなので当然ですけどね.
ま, 要するに「適当に『近傍』を与えてしまえば任意の値に収束させることができる」と言っているだけなので, 数学的な意味はありませんが.

お礼

＞(0, y) という形の点のみが (0, 0) の近傍になるような「距離」を定義すれば

どこで出た文章なのかがはっきりしなかったので、回答が遅れてすみません。
(x, 0)の間違いと考えましたが、合ってますか？

＞「適当に『近傍』を与えてしまえば任意の値に収束させることができる」と言っているだけなので, 数学的な意味はありませんが

二つの空間が同相であれば、片方で証明したことは、もう片方でも成立するはずです。

写像により元の空間を別の空間に変換し、そこでx^0だけが0^0を通ることを示し、さらに元の空間と同相であることを示そうとしています。
写像の一つとして、log(x)を考えていますが、それでは0^0が定義できませんので、0^0も含めた写像を作ろうと、位相の勉強をしています。

ありがとうございました。

回答No.42

jmh

> これでは、x(n)は計算できません。
>
そうだとすれば、それは「定義っポイけど定義できてない例」ですね。つまり「定義ではない」です。

貴方のベキの定義（ｘ＾０＝１、ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎは自然数））は、ちゃんとした定義だと思います。

お礼

＞それは「定義っポイけど定義できてない例」ですね。つまり「定義ではない」です。

計算できれば定義だけど、計算できなければ定義でないというのは、やってみなければ分からないことです。

そこで、定義を書いてみて、普通の数学の定義（整数とか実数とか）と合わせて、必要な値が計算できないことを矛盾がある。計算できることを矛盾がない、と表現しています。

ありがとうございました。

回答No.41

jmh

#40> abs(x) < -x
#40> y=x+1,x=y+1

前者は「（この文脈では）-ｘより小さい数（適当に選んだ１つ）を abs(ｘ) と記す」という定義ですか？　矛盾しないと思います。
後者は「ｘ＋１の代わりにｙと書く、ｙ＋１をｘと記す」という意味ですか？　大変不便ですが矛盾はしないと思います。
それとも「y=x+1, x=y+1と仮定すると矛盾する」という意味ですか？それは定義ですか？

お礼

言ってる意味が分かりました。

例を示します。(n)は変数の添え字と思ってください。
x(0)=0
x(n)=x(n-1)+1 ただし、n>0の整数
x(n)=x(n+1)+1 ただし、n<0の整数
これは、整数の絶対値の定義となりますが、ただし書きがなければ計算できなくなります。

x(0)=0
x(1)=1
x(n)=x(n-1)+x(n-2) ただし、n>=2の整数
これは、フィボナッチ数列です。
x(0)=1
x(n)=x(n-1)+x(n)
これでは、x(n)は計算できません。

これは再帰的な定義の例ですが、これで分かりますか？
当然、今までの数学の定義も存在するのが前提です。

ありがとうございました。

回答No.40

jmh

#22> (1)～(8)で示した分です。
#22> １でも無矛盾と言っているのは(1)～(3),(6)。
#22> １以外では矛盾と言っているのは(7),(8)。
#22> (4),(5)は０では矛盾と言っている。

そうではなくて、一般の話です。「…と定義したら矛盾した」なんてコトはないと思います。

お礼

abs(x) < -x
y=x+1,x=y+1
というのは矛盾してませんか？
そういうことでなければ、言っている意味が理解できません。

ありがとうございました。