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３元の代数系における０＾０＝１の妥当性
- ３元の代数系で０＾０＝１の妥当性について検討します。
- 体でない代数系では０＾０＝１となることがあります。
- 0の逆元を持ち、分配法則が成立しない場合に０＾０＝１となることがある。
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←No.1「お礼」欄 ＞ 前回の質問では、0*0=0 を捨てたら乗法ではないという条件が提示されました。 ＞ 私が求めているのは、そういう数学的な回答です。 「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 ことは同じですが。 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には コンセンサスは無いんじゃないかと。それを越えて、分配法則の成り立たない「乗法」を 提案するのは、独創性なのか、恣意性なのか。 ＞ 数学的に何のことを言ってるのやら。 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。「加法」と「乗法」の区別は、分配法則で決まる。…とでも書けば、 貴方にとって「数学的」ですか？
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- tsukita
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重ね重ねすみません。 改めてこのＱＡを眺めてみると、 “GF(q)に無限遠円Zを不可した代数系” である、と素直に単純に捉えるのがいいのかな。 よくよく考えれば、GF(q)∪{Z}をGF(q+1)に対応づけようということに無理があり、 検討違いなことをしていたことに気が付きました。 さて、今回のGF(q)∪{Z}ですが、 加法・乗法は、GF(q)での演算に加えて、 Zを無限遠点のように考え、Zとの加法・乗法を定義している。 減法が定義されるのは、Zでのひき算はX-Z=X+(-1)Zであり、 (-1)はGF(q)上で存在するから、あとは乗法と加法の定義から従う。 除法については、1/Zを定めたので、あとは乗法の定義から従う。 したがって、四則演算は、Zを無限遠点として、 無限遠点のもつ性質を演算のように表現したにすぎない。 減法・除法は、加法・乗法から慣習に従って定めたが、 やはりZが入り込むと当然特異になる。 平方根についてはGF(q)でのa^2の結果を拾ったにすぎない。 絶対値については√a^2=|a|とした？ 結局、何か新しいことが得られたわけではなく、 いまのところ、既知の無限遠点の性質を記述しているだけである。 四則演算をつねにZのときには場合わけして考えなければならないことが そのいい証拠なのでは？
お礼
> 平方根についてはGF(q)でのa^2の結果を拾ったにすぎない。 それはそうでしょう。他の定義はあり得ないので。 > 絶対値については√a^2=|a|とした？ 絶対値とは、その数が０からどれだけ離れているかを表します。 |Z-Z| を計算した場合は、Z-Z が０からどれだけ離れているか、というだけでした。 引き算が、加法の逆元を使って定義されていないから、食い違いが生じます。 > 結局、何か新しいことが得られたわけではなく、 > いまのところ、既知の無限遠点の性質を記述しているだけである。 既知の無限遠点を添加したのですから、既知の性質が出て来るのは当然です。 といっても、無限遠点の性質が既知だったかは疑問です。 > 四則演算をつねにZのときには場合わけして考えなければならないことが > そのいい証拠なのでは？ 場合分けは、多分無意識に、常に行われています。 等式の両辺に０を掛けたり、０で割ったりしてはいないでしょう。 変数ならば、それが０かどうかで場合分けが必要に応じて行われます。 今回は、それが増えたというだけですね。 不等式ならば、もっと意識して場合分けを行なっている筈です。 絶対値を外す場合にも、場合分けは行われます。 場合分けを行うのは手間が掛かりますから、それを理論の不備だと感じてしまうのは仕方ないかもしれません。 でも、数学にとって大切なのは、手間の大小ではなくて、原理的に解けるかどうかです。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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何度もすみません。 GF(6)が急所ですから、 GF(5)∪{Z}を示されたら私も苦しいですが、 逆に、Zを含めて位数7の代数系はどうやって構成しますか？ Z_6∪{Z}での乗法が気になります。 乗法逆元をもたない元が出てきませんか？ １つ前の回答を質問を訂正して、位数7の代数系での加法、乗法はどうなるのですか？
お礼
> Z_6∪{Z}での乗法が気になります。 > 乗法逆元をもたない元が出てきませんか？ 出ます。 > 位数7の代数系での加法、乗法はどうなるのですか？ 期待されても困るのですが、有限体を元に新しい代数系を作ってるので、 位数７の代数系は作れないでしょう。 それどころか、位数６の代数系でもう不完全なものになります。 理由は、距離と絶対値が定義できなくなるから。 絶対値については、 |a||b|=|ab| という関係は成り立って欲しい。 その場合の加法と乗法は以下の通り。引き算、割り算は省略です。 私のやってることは、記号の置き換えくらいのものですが。 + 0, 1, i, -i, -1, Z 0 0, 1, i, -i, -1, Z 1 1, i, -i, -1, 0, Z i i, -i, -1, 0, 1, Z -i -i, -1, 0, 1, i, Z -1 -1, 0, 1, i, -i, Z Z Z, Z, Z, Z, Z, Z * 0, 1, i, -i, -1, Z 0 0, 0, 0, 0, 0, 1 1 0, 1, i, -i, -1, Z i 0, i, -1, 1, -i, Z -i 0, -i, 1, -1, i, Z -1 0, -1, -i, i, 1, Z Z 1, Z, Z, Z, Z, Z 距離は、ある数に１を何回加えたり引いたりすれば別の数になるか、と定義します。 そうすると、０との距離と、絶対値が同じになっていないのが分かります。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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すみません。 Zも含めて位数６ですね。これは、GF(5)にZを添加する？
- tsukita
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> 有限の演算結果を、有限の式で表せるのは当然です。 そうでしょうか？ > ただし、GF(6)というのは存在しない。 >こちらは位数６の代数系でも作れますから、食い違いが発生します。 ここは議論の急所ですね。GF(6)にZを付加すれば位数７の代数系。 もしよかったら、Zを含め位数７で、加法と乗法のみでよいので演算表を示してもらえませんか？ > 無限遠点の近傍は {x | |x| > r} だそうですから、お互いの距離が０でないのは当然ですよ。 どういうことでしょうか？何の、半径何も近傍？ 無限円点の半径rの近傍？ rの半径無限円点の近傍？
お礼
こちらの記述の方が、＃１７よりも後になってしまいました。 読む方は、少しだけ注意してください。 距離は、ある数に１を何回加えたり引いたりすれば目的の数になるか、と定義します。 そして、何度やっても目的の数にならないなら、無限大（＝Ｚ）と考えます。 これによって、ＺとＺの距離は０となり、距離の公理が成立するようになります。 ２つの数の差の絶対値 |a-b| は、Ｚ同士には距離として使えないのですね。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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コメントありがとうございます。 >> 今回は位数が少ないから表現できたのかもしれませんし >そうだと思います。 >加法はともかく、乗法は複雑過ぎます。 位数４でも表現可能でした。 >加法はともかく、乗法は複雑過ぎます。 複雑ですが、以下の２項演算はGF(4)で確かに構成可能です。 >* 0, 1, -1, Z >0 0, 0, 0, 1 >1 0, 1, -1, Z >-1 0, -1, 1, Z >Z 1, Z, Z, Z >平方根や絶対値は定義可能です。 >√０＝０、√１＝１、√Ｚ＝Ｚ >｜０｜＝√０＊０＝０、｜１｜＝１、｜Ｚ｜＝Ｚ >４元の場合、-1 に平方根はなく、|-1|=1 ですね。 これは乗法の定義から形式的に定めていますよね？ 例えば、|Z-Z|=|Z|=Zとなるが、距離の公理d(x,y)=0 ⇔ x=y はどう解釈する？ 無限円点と無限円点の距離が無限大？ やはり、Zを０として見る方が自然のような…。
お礼
> 複雑ですが、以下の２項演算はGF(4)で確かに構成可能です。 有限の演算結果を、有限の式で表せるのは当然です。 ただし、GF(6)というのは存在しない。 こちらは位数６の代数系でも作れますから、食い違いが発生します。 > これは乗法の定義から形式的に定めていますよね？ > 例えば、|Z-Z|=|Z|=Zとなるが、距離の公理d(x,y)=0 ⇔ x=y はどう解釈する？ > 無限円点と無限円点の距離が無限大？ こういう難問は歓迎します。 距離の定義を一つ一つ見ていきます。 (1) d(x, y) ≥ 0 ある意味、もうここから破綻してる、とも言える。 Z は正数でも負数でもありません。 が、|0| < |1| < |Z| とする。 つまり、逆元 -Z が存在しないのに、引き算が可能なのと同様に、 |Z|=Z という式は成立するが、|Z|はどんな数より大きい正数です。 (2) d(x, y) = d(y, x) (3) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) この２つは満たしてますね。 (4) d(x, y) = 0 ⇒ x = y これも満たしている。 (5) x = y ⇒ d(x, y) = 0 これは満たしてない。 x, yのどちらかがZならば、距離は無限大|Z|となる。 もう、しょうがない。 無限遠点の近傍は {x | |x| > r} だそうですから、お互いの距離が０でないのは当然ですよ。 回答ありがとうございました。
- kabaokaba
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>kabaokabaさんの >>類推というノイズを混入を積極的に避けるためにもあえて抽象的にして >ということも教訓になります。 出てきました． 私は逆要素の扱いにミスがありましたが， 演算をF3で表現してしまうとはお見事です． こりずに，抽象化 集合Xで写像f: X x X -> Xが存在し， 次の性質を満たすとする． Xのある要素eが存在し，Xの任意の要素xに対して f(x,e)=eとなる ＃eに唯一性があるかということは問題にはなる 整数環をZとし，次の性質をみたす F:X x Z -> X が存在するとする (1) Xの任意の要素x，Zの0より大きい要素n,mに対して F(x,n+m)=f(F(x,n),F(x,m)) (2) Xの任意の要素x，Zの0より大きい要素nに対して e = f(F(x,n),y) となる，Xの要素yが唯一つ存在する (3) Xの任意の要素x，Zの0より大きい要素nに対して F(x,-n) = y ここでyはe=f(F(x,n),y)となるXの要素である 以上の条件のもとで Xの任意の要素xに対して，F(x,0)=eとなるか？ この性質を満たすには， Xとfにどのような構造があればよいか こんなとこですかねー ここではF(x,0)は定義されているというのが 最初から要請されているのがずるいところ． 実数とかだとここが問題になる． 実数だと，Fやfに対するもろもろの要請を満たすと F(0,0)=1というのも F(0,0)=0というのも 導出できてしまうと考えられるわけ． だから，F(0,0)を排除して考えようというのが 普通の人の判断なわけです． ちなみに，f; X x X -> X と要請してるので もちろんXについて閉じてますし， Xについて閉じている写像を別名「Xの演算」とかいうのです． また，問題の表現にXの演算は一個しか使ってません． したがって，もしかすると，Xの演算は一個でいいのかもしれません． また，位相は一切関係ないでしょう Xのもう一個の演算で位相というのはよく分かりません． 位相をいれて「近い」ということを望んでいるようですが， 複素数体でx^yを考えた場合， 普通の位相では，いわゆる真性特異点なわけで 近いとか遠いとかでは扱いきれない変な状態になるのは既知ですし， これはきっともう忘れてるでしょうが， かなり前に指摘されてます． となると，うまく入っても 少なくともかなーり奇妙な位相になりそうかな． ＃代数系にいれる位相というと，まっさきにZariski位相が思い浮かぶけど ＃Xにはそれが入るような豊潤な構造はまだ存在していない まあ，水掛け論になるでしょうから 私はここまでということで．
お礼
> Xのある要素eが存在し，Xの任意の要素xに対して > f(x,e)=eとなる > ＃eに唯一性があるかということは問題にはなる 可換 f(x,y)=f(y,x) とすれば、e には唯一性がある。 > (3) Xの任意の要素x，Zの0より大きい要素nに対して > F(x,-n) = y > ここでyはe=f(F(x,n),y)となるXの要素である > 以上の条件のもとで > Xの任意の要素xに対して，F(x,0)=eとなるか？ e=f(F(x,0),F(x,-0)) としてしまえば答は簡単なのに。 > 複素数体でx^yを考えた場合， > 普通の位相では，いわゆる真性特異点なわけで y を整数環で考える場合、特異点の議論は出てこない。 抽象化した筈なのに、指数関数の考えが入ってますよ。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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#11です。 >> 四則演算について、減法と除法を考えてみました。 >> 次の結果で合っていますか？ >すべて合ってます。 ありがとうございます。 さて、この４つの演算のマトリクスを（０，１，Ｚ）→（１，２，０）で置換します。次に、左の列と上の行が０、１，２の順序になるように行と列も入れ替えます。（減法は加法と同じなので省略） ＋｜０１２ －－－－－ ０｜０００ １｜０１２ ２｜０２１ ＊｜０１２ －－－－－ ０｜０２０ １｜２１１ ２｜０１２ ÷｜０１２ －－－－－ ０｜２００ １｜１２１ ２｜１０２ ここで、次が成り立つことがわかります。 ○加法が位数３の有限体Ｆ３の乗法と同値 ○乗法は、Ｆ３における次の演算Λに同値 Λ（ｘ，ｙ）＝ｘ（ｘ＋１）＋ｙ（ｙ＋１）＋ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１） ○除法は、Ｆ３における次の演算Ｖに同値 Ｖ（ｘ，ｙ）＝∧（ｘ，２ｙ＋１） ※除法は次のように考えた。先の置換（０，１，Ｚ）→（１，２，０）によって、以前の１はここでは２で考えているから、元Ｙの逆元は∧においてＹ∧●＝２となる●を探していることになる。これは今回の例では２Ｙ＋１によって与えられる。除法は、逆数との乗法積を考えているから、ここではｘと２ｙ＋１の積∧に相当する。 このＱＡのはじめの方で、 alice_44さんが >二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠 >+ が乗法,（ ＊ が加法）でもよいのではないか？ と述べているように、今回は、加法が有限体の乗法と同値であることを示しました。 このことについて、分配法則によって加法と乗法が強調されることについてもalice_44さんが触れられています。ここでは、加法と乗法の結びつきが議論されていないので、簡単に、加法を乗法に置き換えることができてしまいました。 kabaokabaさんの >類推というノイズを混入を積極的に避けるためにもあえて抽象的にして ということも教訓になります。 最後に、今回は位数３の有限体に帰着できましたが、集合の位数を４、５、６と増やしたときに∧やＶを表す演算が有限体Ｆｐで表現できるかについては興味があります。しかし考えるには時間が必要です。今回は位数が少ないから表現できたのかもしれませんし、実際たった３元なのに私は結構時間がかかってしまいました。 私には、まだ非自明なことが多いことがわかったので、今回のＱＡについて“Ｘには意味がない”と言及したことは撤回します。何か実りがあったら、またＱＡに載せて欲しいとも思います。
お礼
> ここでは、加法と乗法の結びつきが議論されていないので、簡単に、加法を乗法に置き換えることができてしまいました。 > 今回は位数が少ないから表現できたのかもしれませんし そうだと思います。 加法はともかく、乗法は複雑過ぎます。 ４元{0, 1, -1, Z}での四則演算は以下の通り。参考にしてください。 + 0, 1, -1, Z 0 0, 1, -1, Z 1 1, -1, 0, Z -1 -1, 0, 1, Z Z Z, Z, Z, Z - 0, 1, -1, Z 0 0, -1, 1, Z 1 1, 0, -1, Z -1 -1, 1, 0, Z Z Z, Z, Z, Z * 0, 1, -1, Z 0 0, 0, 0, 1 1 0, 1, -1, Z -1 0, -1, 1, Z Z 1, Z, Z, Z / 0, 1, -1, Z 0 1, 0, 0, 0 1 Z, 1, -1, 0 -1 Z, -1, 1, 0 Z Z, Z, Z, 1 平方根や絶対値は定義可能です。 √０＝０、√１＝１、√Ｚ＝Ｚ ｜０｜＝√０＊０＝０、｜１｜＝１、｜Ｚ｜＝Ｚ ４元の場合、-1 に平方根はなく、|-1|=1 ですね。 これ以上に元を増やすとなると、もう有理数体にした方が分かりやすいかもしれない。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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四則演算について、減法と除法を考えてみました。 次の結果で合っていますか？ 【加法】可換 ＋｜０１Ｚ －－－－－ ０｜０１Ｚ １｜１０Ｚ Ｚ｜ＺＺＺ 【減法】結果、加法に同じ？ －｜０１Ｚ －－－－－ ０｜０１Ｚ １｜１０Ｚ Ｚ｜ＺＺＺ 【乗法】可換 ＊｜０１Ｚ －－－－－ ０｜００１ １｜０１Ｚ Ｚ｜１ＺＺ 【除法】左の列の元÷上の行の元 ÷｜０１Ｚ －－－－－ ０｜１００ １｜Ｚ１０ Ｚ｜ＺＺ１ また、未知数Ｘの一次方程式 Ｚ＋Ｘ＝０ Ｚ＋Ｘ＝１ ０＊Ｘ＝Ｚ Ｚ＊Ｘ＝０ はどのように扱いますか？
お礼
> 四則演算について、減法と除法を考えてみました。 > 次の結果で合っていますか？ すべて合ってます。 > また、未知数Ｘの一次方程式 > Ｚ＋Ｘ＝０ > Ｚ＋Ｘ＝１ > ０＊Ｘ＝Ｚ > Ｚ＊Ｘ＝０ > はどのように扱いますか？ すべて解はありません。 実際に、未知数Ｘに０，１，Ｚを入れて確認すれば分かります。 ちなみに、方程式の一般的な解き方ですが、 ・未知数がＺでないと仮定して解いてみる。 ・未知数がＺであると仮定して解いてみる。 の両方を行い、それを合わせたものが最終的な解となります。 > Ｚ＋Ｘ＝０ を例にすると、未知数がＺでないと仮定して両辺からＸを引き Ｚ＝－Ｘ を得るが、これを満たす値は存在しない。 次に、未知数がＺであると仮定して Ｚ＋Ｚ＝０ を得るが、この等式は成立しない。 よって、解は存在しない。 ３元だと総当りでも良いのですが、有理数を考えるとこの方式になります。 ＃８お礼： > 一次連立方程式なら解けます。 で言ったのは、「従来の係数を使った」という意味でした。 私もそれは意識してなかったので、訂正します。 多分それでも、従来の演算は守れているとは言えるでしょう。 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
#9です。 > あなたが守っているのは０＾０＝１であり、 守っているのは０＾０＝１と指数法則 ですね。
お礼
＃９のお礼の > 0/0 を除き、自由に四則演算が行えます。 をちょっとだけ修正です。 0/0=1 を忘れてました。 自由に四則演算が行えます。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
#5,6,7です。 >> これは代数系の“例”ではありません。定めるだけなら、どんなこともできる。 >「どんなこともできる」は言い過ぎでしょう。 >矛盾があってはいけないし、どういう法則を守るかで制限が掛かります。 当たり前です、というべきでしょうか。。。そこで“何を守ろうとしているか”ですが、あなたが守っているのは０＾０＝１であり、それしか守っていないからそれ以上の議論をしようがない。 リーマン球面なども登場しましたが、リーマン球面における無限遠点や、極限としての lim 1/0 = ∞ が持つ性質について議論したいのではないでしょう。しかし、あなたが今回ひきあいに出したＸは、これを表現方法を変えて書いたにすぎない。Ｚ＊０＝１は特別慎重に扱っていますが。 私が、新しい代数系を構成していないと感じるのは、そのためです。いまのところ、記述されていることは『（０＾０＝１と定めるために）０＊Ｚ＝１と何者かＺを定めます』ということだけであり、それだけだから、その価値も何も見出せない。“定めるだけならどんなこともできる”とはそういう意味です。現段階で得られたものは何もありませんが、このＺが何かを説明しうるかについては議論の余地がある、ことは繰り返しておきます。 >今回なら、従来の演算を守らなければならないから、非常にきつい制限が掛かる。 このことに関して、今回のＸは従来の演算を守ろうとはしていないでしょう。その結果、余計に制約ができてしまっている。有限体を含んでいるようにしたから、何か得体のしれない代数体が構成されていると錯覚しているにすぎない。 位数２の有限体Ｆ２∪｛Ｚ｝という集合を考えます Ｚ*０＝１と定義します。（０^０＝０^（－１）・０^１：＝１と定義します としているのと同じ） という定義以上の何かが説明されていますか？ 定義だけだから、それで・・・？となってしまいます。 >べき乗は、「２項演算以上の性質」に当たると思いますよ。 とありますが、上記のＸにおける０＾ｘ，１＾ｘ，Ｚ＾ｘのべき乗計算は、 乗法＊の定義と同値、厳密には、乗法の定義の一部にしかなっていないのではないですか？
お礼
> 今回のＸは従来の演算を守ろうとはしていないでしょう。その結果、余計に制約ができてしまっている。 もっと具体的に言ってもらえますか？ 何か、守れてないことがあるでしょうか？ 制約ができたとも思っていない。 ＃８のお礼に書いたように、0/0 を除き、自由に四則演算が行えます。 また、少なくとも、一次連立方程式なら解けます。（解の個数は増える） どういう制約ができたと考えていますか？ 方程式などの従来の代数系で出来てたのがすべて出来て、 実数などに拡張してやれば、微分も定義出来るかもしれない。 …と私は考えて、検証中です。（そこまで一足飛びには行けませんが） とにかく、何が守れてないのか、認識を合わせることが必要ですね。 回答ありがとうございました。
お礼
>「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 > ことは同じですが。 従来の体の演算と異なる結果が出てくるのでは、元の演算とは呼べないというのは説得力があります。 > 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと > 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が > あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には > コンセンサスは無いんじゃないかと。 あなたの思い込みという可能性が否定出来ない。 コンセンサスがないから私の意見に従え、というのもおかしな話だし。 > 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。 可換でない多元体としては、四元数がある。 結合的でない多元体としては、八元数がある。 環の定義では、乗法は結合的でなければならない筈。 八元数で乗法という言葉を使うのは誤りだという主張ですね？ 回答ありがとうございました。