（あ）（＋）（い）（＝）（い）（＋）（あ）

質問

（あ）（＋）（い）（＝）（い）（＋）（あ）
このように加法は交換則は成立としますよね。

（か）（×）（き）（＝）（き）（×）（か）
このように乗法は交換則は成立としますよね。

ところで
（あ）（－）（い）（＝）（い）（－）（あ）
減法においては、このような交換則は不成立としますよね。

さらに
（か）（÷）（き）（＝）（き）（÷）（か）
除法においては、このような交換則は不成立としますよね。

　米　

さらに、ところで、
今から書く記述法は一般的ではないと感じますがあえて書きます。

べき乗
（さ）（べき乗）（し）（＝）（し）（べき乗）（さ）
べき乗においては、このような交換則は不成立としますよね。

対数
（さ）（対数）（し）（＝）（し）（対数）（さ）
対数においては、このような交換則は不成立としますよね。

　米　

言いたいこと、質問したいことを、まとめます。
＜一＞加法とその逆演算である減法においては、加法のみ交換則が成立するとする。
＜二＞乗法とその逆演算である除法においては、乗法のみ交換則が成立するとする。
＜三＞べき乗とその逆演算である対数においては、両者とも交換則が不成立とする。
＜四＞ハイパー演算子による表現では、加法、乗法、べき乗、テトレーション、・・・というふうに、連鎖的に演算の深度が進んでいくように感じられる。
＜五＞ＨＹＰＥＲ３から交換則の両者不成立が出てくる理由・仕組み・あるいはそう定義することになった事情。これらを教えてください。

校正・推敲はしました。つたない文章ですがよろしくおねがいします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

すみません, #1 はちょっと意地悪すぎですね. ただ, 本来「加算」にしろ「乗算」にしろ「ただの 2項演算」であり, 「いかなる場合においても可換であるわけではない」ことは念頭に置いておく必要はあります.
とりあえず 1 と 2 については「減算や除算がそもそも非対称な演算として定義されている」ことに注意する必要があります. たとえば減算は
a+x = b のとき x = b-a
と定義していますが, 元の加算の式においてそもそも a と b は対称ではありません. そして, 減算はこの対称ではない a と b からなる演算なので, 本質的に非対称な演算となっています.
あと, 加算/乗算とべき乗の違いという観点では
a + (b+1) = (a+b) + 1, a * (b+1) = (a*b) + a, a ^ (b+1) = (a^b) * a
に対して
(a+1) + b = (a+b) + 1, (a+1) * b = (a*b) + b, (a+1) ^ b = (a^b) * b
となっていないことは気になりますね.

お礼

ありがというございます。
前半文章の「非対称」「対称」という文言がいまひとつ理解できませんので、今後のわたくしの課題とします。それと、

－－－－－引用－－－－－
a + (b+1) = (a+b) + 1, a * (b+1) = (a*b) + a, a ^ (b+1) = (a^b) * a
に対して
(a+1) + b = (a+b) + 1, (a+1) * b = (a*b) + b, (a+1) ^ b = (a^b) * b
となっていないこと
－－－－－引用－－－－－

後半部分についての、自分なりの解釈を、自己流表記で以下に打ちます。

＜ア＞加法について次のように表記します。
　（第一被演算子）（ＨＹＰＥＲ１）（第二被演算子）
＜イ＞乗法について次のように表記します。
　（第一被演算子）（ＨＹＰＥＲ２）（第二被演算子）
＜ウ＞乗法について次のように表記します。
　（第一被演算子）（ＨＹＰＥＲ３）（第二被演算子）

＜エ＞これらを用いて、引用部分を書き直します。

＜カ＞（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（（ｂ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ１）（単位元）
＜キ＞（ａ）（ＨＹＰＥＲ２）（（ｂ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ２）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ１）（ａ）
＜ク＞（ａ）（ＨＹＰＥＲ３）（（ｂ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ３）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ２）（ａ）

＜ケ＞これらに対して、

＜サ＞（（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（ＨＹＰＥＲ１）（ｂ）（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ１）（単位元）
＜シ＞（（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（ＨＹＰＥＲ２）（ｂ）（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ２）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ１）（ｂ）
＜ス＞（（ａ）（ＨＹＰＥＲ１）（単位元））（ＨＹＰＥＲ３）（ｂ）（＝）（（ａ）（ＨＹＰＥＲ３）（ｂ））（ＨＹＰＥＲ２）（ｂ）

＜セ＞＜サ、シ＞は成り立つが、＜ス＞は成り立たない。

引用部分の理解はこれで良いのでしょうか。頭の中が真っ白になってますので、自分でもよくわかりません。根本的に、頭の使い方や思考回路を修理したいです。よろしくおねがいします。

回答No.1

Tacosan

「乗法が可換じゃない」って, 別に珍しくないよね.
「加法が可換じゃない」はさすがにあまり見ないけど, そうであっても問題はないよね.
で, 問題はなんだったっけ?

お礼

今気が付きました。　　乗法が可換ではない。　これは行列や行列式の計算則で見られることなのでしょうかね。　　　で、加法が可換ではない。　　そう定義しても問題はない。というのは、定義は、より厳しくしておく分には、論理の整合性を保てる。　そういうことなのでしょうかね。　　
　※　
で、訊きたかった事は、ハイパー演算の累度が上がると、計算則の制約がより厳しくなるのは、どのような原理が働いているのかを、理解したかったからです。　
　※　
ＭＡＴＨについて甘く見ていました。反省です。

補足

否定（加法が可換）。
　・・・・お礼がてら補足をさせてもらおうと、しましたが、集合と論理学の、基礎が、できていないことに、気がつきました。・・・・。。
　　加法が可換ではなくても、問題はない。　　　
　　　←という点が新鮮です。　
　　米　
　問題はなんだったのでしょうか　
いま頭の中まっしろになりました。
　あとでまたカキコします。　
　　ａＲＩ－ｇＡＴＥＴＵ７