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３元の代数系における０＾０＝１の妥当性
- ３元の代数系で０＾０＝１の妥当性について検討します。
- 体でない代数系では０＾０＝１となることがあります。
- 0の逆元を持ち、分配法則が成立しない場合に０＾０＝１となることがある。
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←No.1「お礼」欄 ＞ 前回の質問では、0*0=0 を捨てたら乗法ではないという条件が提示されました。 ＞ 私が求めているのは、そういう数学的な回答です。 「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 ことは同じですが。 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には コンセンサスは無いんじゃないかと。それを越えて、分配法則の成り立たない「乗法」を 提案するのは、独創性なのか、恣意性なのか。 ＞ 数学的に何のことを言ってるのやら。 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。「加法」と「乗法」の区別は、分配法則で決まる。…とでも書けば、 貴方にとって「数学的」ですか？
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- tsukita
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今回は、微分よりの回答を頂きましたが、 私は、もっと単純に、 一次式 y=0*x+b はx=Zのときy=b+1となる(x=Zで不連続) 一次式 y=Z*x+b はx=0のときy=b+1となる(x=0で不連続) となるが、これをどう理解するかということでした。 不連続なものを直線と呼ぶのか。 無限遠点の値を極限と考えるのか。そうだとすれば、 y=0*x+bのx=Zでの値とは幾何学的に何を意味するのか。 このようなことを考えると、無限遠点を定義域に含む演算の場合、 一次式 = 一次式 から得られる解と幾何学的な交点に相反するところがあるのかなと考えました。 >しかし、今回の代数系では >y=(0*x)*a+b >も直線とみなす必要がありそうですね。 この部分について、なぜ y=(0*x)*a+b のように(0*x)*aを考えなくてはならないのですか？積について可換であれば、一次式は a*x+b の"形"でよいような気がするのですが…。 #新年度に近づき、だんだんと考える時間がなくなってきました。 #当初は、ここまで議論が深まるとは想像もしなかった。 #数学は面白いですね。 #そして苦しい世界でもあります。
お礼
何を直線と呼ぶべきか、悩みました。 ユークリッド幾何学には、直線の作り方が２通り示されています。 ・２点を通る直線 ・線分を延長した直線 ２番目は、１点と方向による直線、と言い換えられると思われます。 > 一次式 y=0*x+b はx=Zのときy=b+1となる(x=Zで不連続) > 一次式 y=Z*x+b はx=0のときy=b+1となる(x=0で不連続) > となるが、これをどう理解するかということでした。 前者は、f(Z) と lim[x→Z]f(x) の比較で考えると、不連続です。 にも関わらず、(0,b) と (Z,b+1) を結ぶ線は他に存在しないので、やはり直線です。 後者も、不連続です。 平行でない直線には交点が出来る筈ですから、これはユークリッド幾何学（空間）に基づく直線ではありません。 ただし、直線の定義自体には、連続した点の集まりでなければいけない、という条件は存在しません。 私は、１点を通り、傾きが一定なら、直線だと思います。 そう考えるなら、整数のような離散した数の上でも直線を考えることができるようになります。 つまり、不連続で、ユークリッド的な直線ではありませんが、ある意味では直線です。 (0,b) を通り、傾きがZだとすれば、これは一意に定まります。 その結果が不連続であったとしても、直線の定義を満たすものは、直線と呼ばなくてはなりません。 > 無限遠点の値を極限と考えるのか。そうだとすれば、 > y=0*x+bのx=Zでの値とは幾何学的に何を意味するのか。 無限遠点の値と極限は異なります。 lim[x→0] とした場合にも、xは0以外だとしている筈です。 極限値は lim[x→Z] であって、これは lim[x→+∞] や lim[x→-∞] の値です。 Z を代入したら何になるのか、ではありません。 > このようなことを考えると、無限遠点を定義域に含む演算の場合、 > 一次式 = 一次式 から得られる解と幾何学的な交点に相反するところがあるのかなと考えました。 今回の代数系が一般的な無限遠点の定義ではないからでしょう。 もし、Zを乗法での吸収元とした場合、逆元は無くなりますが、結合法則と分配法則が成立します。 一次式 = 一次式 の解には、必ず無限遠点が含まれることになります。 > 積について可換であれば、一次式は a*x+b の"形"でよいような気がするのですが…。 積については可換でも、結合法則は満たしません。 したがって、係数を先に計算しておくことができない場合が存在します。 回答ありがとうございました。
- tsukita
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一次方程式が単純でないことは、少しわかりました。 その上で >一次方程式は、左辺が表す直線と右辺が表す直線の交点を探すことですから、 についてですが、“一次式が直線を表す”ことについて たとえば、次のような一次式は直線にならないようですが、 どう考えるでしょうか？ y=0*x+b y=Z*x+b また、例えば、次の１つの直線の関係についても疑問がわきました。 y=0*x+b y=b 今回の代数系では、0*xが“無”とならないところが大変ですね。
お礼
分かりやすく、実数で考え、微分（傾き）が定義可能と仮定して、話をします。 > たとえば、次のような一次式は直線にならないようですが、 > どう考えるでしょうか？ 直線とは、傾きが一定で、ある一点を通る点の集まりです。 > y=0*x+b (0,b) を通ることは明白です。 x が Z でなければ、傾きは 0 です。 x が Z の場合は、x が 0→Z に対し Δy/Δx = ((0*Z+b)-(0*0+b))/(Z-0) = 1/Z = 0 となります。 > y=Z*x+b (0,b) を通ることは明白です。 x が 0 でなければ、x が 1→2 に対し Δy/Δx = ((Z*2+b)-(Z*1+b))/(2-1) = Z/1 = Z x が 0 であっても、x が 0→1 に対し Δy/Δx = ((Z*1+b)-(Z*0+b))/(1-0) = Z/1 = Z となります。 どちらの一次式も、直線である条件は満たしているように思われます。 なお、x=Z の場合の傾きを定義してはいないため、問題がなくはありません。 > y=0*x+b > y=b 直線の方程式を ax+b とするならば、前者だけが直線ということになります。 しかし、今回の代数系では y=(0*x)*a+b も直線とみなす必要がありそうですね。 この場合、「二点を通る直線は一つ」という条件を使った(0,b)と(Z,a+b)を通る直線の方程式を表していると言えるでしょう。 直線を定義する方法には２種類あり、通常これは一致するのですが、 無限遠点を考えた場合は、別々の定義となるらしいですね。 回答ありがとうございました。
- Knotopolog
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質問者さんへ 各回答とのやり取りを興味深く見させて頂いていますが，私にとっては，あまり得意でない分野の話なので，残念ながら，傍観者・閲覧者の立場に居る者です． 質問のような論文をまとめて，ArXiv（アーカイヴ）へ投稿することをお勧めします． arXiv（本家 URL: http://arXiv.org）では，どんな論文でも無料で受け付け，査読なしで，いきなり掲載されます． arXiv の使い方（ http://ja.wikipedia.org/wiki/Template:Arxiv ）をご参考下さい． また，日本ミラー（ URL: http://jp.arxiv.org/ ）も一度，見て下さい． arXiv は，言わば，プレプリント サーバですから，世界中から，約５０００編／月ほどの論文が集まります．そして，駄目な論文は，どんどん削除されて行きます．ですから，気軽に投稿できます．投稿も閲覧も費用がかからず無料ですから，私も，そのうち一度利用しようかとも考えています． 如何でしょうか？ また，次のＵＲＬも参考にして下さい． wikipedia: http://ja.wikipedia.org/wiki/ArXiv#.E6.9F.BB.E8.AA.AD ご存じでしょうが，ポアンカレ予想を解決したグリゴリー・ペレルマン（ロシア人数学者）も，この arXiv へ論文を投稿して成功し，世界に知れ渡りました． 質問者さんと各回答者さん，いらぬ横やりなど入れて失礼しました．
お礼
> 質問のような論文をまとめて，ArXiv（アーカイヴ）へ投稿することをお勧めします． 興味は持ちましたが、 言葉の壁が無くなったら、考えてみます。 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
No24です。本当、申し訳ありません。 No24はすべてこちらで読み替えてください。 >> 方程式を発展させるためには、分配則や結合則がどうしても必要になってくるのではないでしょうか？ >中学数学で習う範囲として、「文字式を簡単にする」というのがあります。 「文字式を簡単にする」以前に、（また、方程式を発展させる以前に(汗)）方程式について根源的な疑問が湧いてきた。 １．Zx+a=0 という未知数xの方程式は“１次の”方程式と見るのだろうか？ 一次方程式には解を１つのみ要請したい。 ２．仮にn次方程式を考えたところで、その帰結は単純ではないか。 係数にZを一つでも含むn次式 f(x) について、f(x)=0という方程式を考える。 この整式はほとんどf(x)=Zである。唯一そうでないとすれば、x=0の場合しかない。 さらに分数式を考えても、Zの吸収性は分母をZに追いやるか、或いはx=0の代入しかない。 >０という吸収元を扱った経験があれば、案外Ｚの扱いも戸惑いません。 0とZは全く性質のことなるものです。0は、式の各項を“無”にし、ほかの部分に議論を委ねるのに対して、Zの加法や乗法における吸収性は強力で、ほぼすべての式を自分自身Zに吸収してしまう。 したがってほぼすべての式はZであり、さもなければ、x=0の代入しかない。 ここから何かを発展できるのだろうか。 定義が整式の形で与えられる微分もほとんど貧しいものになると思われますが。。。
お礼
> １．Zx+a=0 という未知数xの方程式は“１次の”方程式と見るのだろうか？ > 一次方程式には解を１つのみ要請したい。 それはできない相談です。 上の方程式は、a=-1 の場合だけ x=0 という解を持ちます。 一次方程式は、左辺が表す直線と右辺が表す直線の交点を探すことですから、 無限遠点を加えると、解は１つあるいは２つになるのが普通です。 係数にＺを使用するなら、上のように、解は０あるいは１つとなるのが普通です。 なお、出題された式は間違いなく一次方程式ですが、 Ｚは移項できませんから、一次方程式(a≠0)の定数項の一般形は ax+b=0 … x=Z は解でなく、b≠Z ならば x=-b/a ax=Z … x=Z のみが解となる ax+Z=Z … x=Z を含め、何でも解となる（解けないとも言う） のどれかになります。 また、一次の項も、＃２２のお礼欄に書いたように、一通りではありません。 ところで、「ｎ次方程式にはｎ個の解が存在する」というのは、複素数体で考えた場合の話です。 x^2+1=0 を四元数で解くと無数の解が出てきます。 解が一つ増えるくらい、我慢出来ませんか？ > ２．仮にn次方程式を考えたところで、その帰結は単純ではないか。 単純ではありません。 そもそも、n次方程式の一般形というのが存在しないのが複雑さの元。 方程式を有限個の類型には分別できますが、その類型毎に解き方を考える必要があります。 > 係数にZを一つでも含むn次式 f(x) について、f(x)=0という方程式を考える。 > この整式はほとんどf(x)=Zである。唯一そうでないとすれば、x=0の場合しかない。 そうでもありません。 Ｚ×０＝１ の関係により、Ｚは簡単に打ち消すことができます。 x=Z の時、0x=1 ですが、0x*a=a となり、0x*0=0 や 0x*a*0x=a など、バリエーションは豊富です。 0 や a が別の変数だと考えた場合に単純とはとても言えないのです。 定数項がＺならば、f(x)=Z ですが、むしろそれは特殊な場合ですね。 > Zの加法や乗法における吸収性は強力で 加法はその通りですが、乗法には０が存在するので、他より優位なだけです。 > したがってほぼすべての式はZであり、さもなければ、x=0の代入しかない。 > ここから何かを発展できるのだろうか。 係数がＺの時は発展性がないと言うのならば、係数が０でも発展性がなくないか？ 発展性を云々するのなら、係数がＺなら解がこうなって、０ならこうなって、１ならこうなって、 …と考えていって、それ全体がどうなるかってことじゃないのかな？ 回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
>> 方程式を発展させるためには、分配則や結合則がどうしても必要になってくるのではないでしょうか？ >中学数学で習う範囲として、「文字式を簡単にする」というのがあります。 「文字式を簡単にする」以前に、（また、方程式を発展させる以前に(汗)）方程式について根源的な疑問が湧いてきた。 １．Zx=1 という未知数xの方程式は“１次の”方程式と見るのだろうか？ 一次方程式には解を１つのみ要請したい。 ２．仮にn次方程式を考えたところで、その帰結は単純ではないか。 係数にZを一つでも含むn次式 f(x) について、f(x)=0という方程式を考える。 この整式はほとんどf(x)=Zである。唯一そうでないとすれば、x=0の場合である。 さらに分数式を考えても、Zの加法としての吸収性は分母をZに追いやるか、 或いはx=0の代入しかない。 >０という吸収元を扱った経験があれば、案外Ｚの扱いも戸惑いません。 0とZは全く性質のことなるものです。0は、式には存在しない“無”であるのに対して、Zの加法や乗法における吸収性は強力で、ほぼすべての式を自分自身Zに吸収してしまう。 したがってほぼすべての式はZであり、さもなければ、x=0の代入しかない。 ここから何かを発展できるのだろうか。 定義が整式の形で与えられる微分もほとんど貧しいものになると思われますが。。。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←No.21「お礼」欄 ＞ 1/0 を定義しても矛盾が生じないのは面白いだろう。 その無矛性を成り立たせるための手法が、既存の代数構造から 添加した性質と矛盾する部分を取り除く…というやり方である ことが、「恣意的」「役に立たない」「面白くない」と言われる 所以だということは、そろそろ気づいてもいい頃かと思う。 要するに、z を加えても矛盾しないんじゃなく、z を加えたら 矛盾した性質をもとの代数系から削って行っただけだから。 そのために、一次方程式すら解けなくなった系を「面白い」と 思うかどうかは、主観の問題とは言っても… ちょっと、ねえ。 確かに、加法が群でない、分配法則は成り立たない、などの制限を 許容すれば、X の構成に矛盾は無い。それは、最初から A No.1 冒頭に書いたとおり。しかし「だから何？」というのが、 一貫して問い続けていることだ。「好きでやってんだ、構わんだろ？」 と言われれば、「好きにやりな」で終わるしかない。 これも、A No.8 に既に書いたが、X を有理数を含むように拡張 したとき何が起こるかは「御手並み拝見」。期待はしてないが、 悪い意味で楽しみにしている。老婆心ながら、ひとつアドバイス すると、z は 1 個ではないほうがよいと思う。いや、お好きに。
お礼
> その無矛性を成り立たせるための手法が、既存の代数構造から > 添加した性質と矛盾する部分を取り除く…というやり方である 例を出して説明すると > 既存の代数構造から … 複素数体から > 添加した性質と矛盾する部分を取り除く … 乗法の交換法則を取り除く で出来るのが四元数だろ。さらに > 添加した性質と矛盾する部分を取り除く … 乗法の結合法則を取り除く で出来るのが八元数だろ。 そういうのは認めておきながら、分配法則は残すべきだというのが分からない。 ただ単に、皆と同じ数学（通常の代数とか言ってたっけ）をしたいだけじゃないのか？ > 一次方程式すら解けなくなった 日本語は正確に使おうよ。 #20: > 例題を挙げるまでもなく、自分で気づいているようだが？ > > ただし、係数にＺが使われている場合は、解けない場合が存在する。 Ｚを添加しない代数系では、もちろんＺは使われていない。 「解けなくなった」というためには、「以前は解けていた」という事実がなければならない。 あなたは、存在すらしていない方程式が解けていたとでも主張するつもりか？ それとも、添加前の代数系では、どんな係数でも解が存在したと言うつもりか？ もう一度言うが、「一次方程式すら解けなくなった」は誤りだ。 違うというなら、例を出してくれ。 > X を有理数を含むように拡張したとき何が起こるかは「御手並み拝見」。 > 期待はしてないが、悪い意味で楽しみにしている。 確かに、期待させるようなことは何も起こらない。 ３元で言ったことが有理数体でも成立するというだけだ。 > 「好きにやりな」で終わるしかない。 …と言いながら、こんなに続けるのはどうしてだろう？ でも、回答ありがとうございました。
- tsukita
- ベストアンサー率50% (41/82)
alice_44さんのNo21の回答にあるように、とくに >通常の代数とは無縁の孤立した系での話としか見えない。 とあるように、Zは、このままだと、GF(q)∪{Z}として、“Zだけが”孤立してしまっている観が拭えないと思います。 距離の回答を頂きました。 >距離は、ある数に１を何回加えたり引いたりすれば目的の数になるか、と定義します。 >そして、何度やっても目的の数にならないなら、無限大（＝Ｚ）と考えます。 >これによって、ＺとＺの距離は０となり、距離の公理が成立するようになります。 >２つの数の差の絶対値 |a-b| は、Ｚ同士には距離として使えないのですね。 これも吟味が必要でしょうが、Zだけが際立つものになります。 位数６の代数系の定義を頂きありがとうございます。 時間を見つけて考えてみます。回答が遅くなったり、回答がされないままとなった場合はご了承ください。iと-iという元がでてきたのが意外でした。これはGF(5)の2,3をiと-iで表現しているだけ？ 場合分けの議論についてですが、方程式を解く際に０とそうでないときで、場合分けを行っていることは確かです。だから、Zのときも場合分けを行うことは…ということは数学的に正しいでしょう。 しかし、分配法則が成立するか、そうでないかは、私も大きな問題だと思います。いまのところ、方程式は“考えうる”ことはできますが、以前として、加法と乗法の２項演算の定義の域を越えないので、方程式に“意味が見出せません”。（見出せないことばかりですみません。）方程式を発展させるためには、分配則や結合則がどうしても必要になってくるのではないでしょうか？ >場合分けが必要なことを除けば、むしろ、Ｚを含む計算は簡単になる。 それはZがほとんど吸収元のような強い性質を帯びているためでしょう。 >1/0 を定義しても矛盾が生じないのは面白いだろう。 何をもって矛盾が生じないと思うかだと思います。 分配則・結合則の崩れは大きいと思います。 >そもそも、「通常の代数とは無縁の孤立した系での話」とは、独創性に対する褒め言葉じゃないのか？ 通常の体の元についてはこれまでの法則に従い、Zが登場したときだけは二項演算の定義に戻って処理をしている。二項演算の定義の域を超えるというのはどういうことでしょうか。その１つが、加法と乗法を結びつけること（例えば分配則とか）だと思うのですが。代数系が孤立すれば独創性があると思いますが、いまのところZだけが孤立しているのでは？ ※私は、先の回答で、特異な点Zを含む代数系をZが含まれない有限体に帰着することを考えていました。位数３、位数４では成功したに見えましたが、多分失敗しているのでしょう。このときに考えていたのは、無限遠点という特異な元を有限体上の元に置き換え（Z→0としていました）扱うことが可能になれば、無限遠点の性質を有限体上の代数で探れるので、興味深いと考えたからです。なにせ無限遠点についての場合分けが必要なくなるのですから。Zが孤立しなくなる！
お礼
> 位数６の代数系の定義を頂きありがとうございます。 > 時間を見つけて考えてみます。 > 回答が遅くなったり、回答がされないままとなった場合はご了承ください。 回答は、気長にお待ちしていますし、 もし閉めた場合も、有限体や実数体での話になってるだけと思います。 もちろん、致命的な問題が明らかになって、終了することもあるでしょうが。 > iと-iという元がでてきたのが意外でした。これはGF(5)の2,3をiと-iで表現しているだけ？ その通りです。 ０と１なら乗法で閉じてますが、２が出てくると逆数は分数の性質を持つ。 |a||b|=|ab| という性質を考慮に入れるなら、絶対値は|0|,|1|,|Z|の３種にするのが素直でしょう。 > 方程式を発展させるためには、分配則や結合則がどうしても必要になってくるのではないでしょうか？ 中学数学で習う範囲として、「文字式を簡単にする」というのがあります。 これは方程式を習う前に出て来ます。 「分配則や結合則がどうしても必要になる」とは、このことかと思われます。 ＃２１の補足に書いたように、０とＺが同時に出て来なければ、分配則や結合則は使用できます。 よって、一変数の一次の項ならば、変数をx、係数をa,b で書いて 0x*a 1x-1x 1x-1x+0x*a ax ax+0x*b のどれかに必ず簡略化できます。 係数にもＺの使用を許すなら、これに +Zx*c が付くかどうかでまた分かれますが。 > いまのところZだけが孤立しているのでは？ Ｚが孤立してるというより、０とＺが反発してるように感じてます。 Ｚと０以外の数とは、案外仲が良い。 乗法において０が吸収元であるように、Ｚも吸収元です。 吸収できないのは、お互いのみ。 ０という吸収元を扱った経験があれば、案外Ｚの扱いも戸惑いません。 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ここで 0x=1 の話が出て来たことは、A No.8 の論旨に合う。 今回の代数系 X は、F2 を拡張して 1/0 を可能にした引き替えに、 加法逆元が存在するとは限らなくなり、それでも減法があると 強弁するために、減法が加法の逆演算ではなくなり、 加法と乗法の間に分配法則も成立しない。 それで使い物になるのか？ それだけのものを失って尚 よしとするほどの価値がその z にはあるのか？ と問うている訳。 君は、0∧0=1 を導けさえすればそれでいいのだろうが… 通常の代数とは無縁の孤立した系での話としか見えない。
お礼
> 加法と乗法の間に分配法則も成立しない。 > それで使い物になるのか？ 場合分けが必要なことを除けば、むしろ、Ｚを含む計算は簡単になる。 答は、ほぼすべての式がＺとなる。 > それだけのものを失って尚よしとするほどの価値がその z にはあるのか？ 定義域や値域は、使う人が必要な範囲で制限するもの。 べき乗として使ってもいいし、指数関数として使ってもいいし、複素関数としてもいい。 そういう自由度が使う人に与えられている。 したがって、Ｚを使うことに価値を見出す人が使うだけの話。 誰もが四元数を使う必要はないし、実数で十分な人に複素数を強要することもない。 少なくとも、あなたが価値を判断する必要はまったくない。 この理論に矛盾があるかどうか、従来の方程式の解が得られる（拡張になっている）かどうか、 問題になるとすれば、それらの点だ。 使いたい人が安心してこの理論を使えるかどうかについてだけ、意見を言って欲しい。 あなたにこれを使えと強要した覚えはない。 > 君は、0∧0=1 を導けさえすればそれでいいのだろうが… > 通常の代数とは無縁の孤立した系での話としか見えない。 1/0 を定義しても矛盾が生じないのは面白いだろう。 それを自分とは無縁の話と切り捨てるのは、創造性に欠けるんじゃないか？ そもそも、「通常の代数とは無縁の孤立した系での話」とは、独創性に対する褒め言葉じゃないのか？ 回答ありがとうございました。
補足
> 加法と乗法の間に分配法則も成立しない。 分配法則に拘る理由について、一つの可能性を思いつきました。 分かりやすく、３元ではなく有理数で話をすると、 2x, 3x, -x のような同類項をまとめて簡単にできないと思ってませんか？ 2x+3x-x=4x ですよ。 分配法則が成立しないのは０とＺが同時に出てくる場合だけですから、 3x-3x=0x のようなことをしなければ問題ありません。 乗法の結合法則が成立しないのも０とＺが同時に出てくる場合だけですから、 2x*3=6x などはできますよ。 参考にしてください。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
＞ もし、この説明でも解けると信じられないならば、例題をください。 例題を挙げるまでもなく、自分で気づいているようだが？ ＞ ただし、係数にＺが使われている場合は、解けない場合が存在する。
お礼
> 例題を挙げるまでもなく、自分で気づいているようだが？ あの？ 代数方程式はすべて解けるべきだ、とか考えてますか？ 0x=1 は普通でもとけませんよね？ だから体は役に立たないとか言います？ 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←No.8「お礼」欄 ＞ 引き算は x-y をちゃんと定義すれば行えます。 ＞ -y を加法での逆元と考えると、それは未定義。 ＞ でも、 ＞ x-ay = x+(-a)y と定義してやれば ←A No.18 ＞ 減法が定義されるのは、Zでのひき算はX-Z=X+(-1)Zであり、 ＞ (-1)はGF(q)上で存在するから A No.1 から「恣意的過ぎる」と言っているのだが… 減法のアタリマエな定義は、加法の可換性の下で x - y = x + (-y). この -y は y の加法逆元であって、 -y = (-1)y を示すのには、分配法則を使う。 今回は、分配法則の成り立たない代数系の話題だよね？ A No.8 で言っているのは、X がモノノ役二立ツ代物なのか？ という話だから、名前だけ「引き算」つけた足し算の逆でない 演算を定義してみたところで、何の意味もない。 「お礼」の x - y を使って、X 上の一次方程式が解けるのか？
お礼
> 減法のアタリマエな定義は、加法の可換性の下で > x - y = x + (-y). この -y は y の加法逆元であって、 > -y = (-1)y を示すのには、分配法則を使う。 > 今回は、分配法則の成り立たない代数系の話題だよね？ あなたの好む定義がそうだというだけだね。 x と y が実数なら、従来と同じ結果になる。 新しい元を使えば、新しい結果が得られる。 そういうのを拡張というのであって、新しい結果を何にするかは純粋に好みの問題。 それとも、あなたは分配法則が成立しない代数系は扱わないと決めてるの？ たとえば可換体でないと嫌とかすると、自分の発想を狭めるだけでは？ > A No.8 で言っているのは、X がモノノ役二立ツ代物なのか？ > という話だから、名前だけ「引き算」つけた足し算の逆でない > 演算を定義してみたところで、何の意味もない。 > 「お礼」の x - y を使って、X 上の一次方程式が解けるのか？ 解けないという発想が、そもそも信じられない。 式があって、変数に何々という値を代入すると何になるかはっきり決まってて、 等式ならば、何と何が等しいか決まってて、 さらに、元は３種類しか存在しない。 こんなの、総当りだって、解は求められる。 もちろん、加法逆元が存在しない、乗法結合法則や分配法則が成立しない、Ｚという値を取り除けば、従来の方法を使って効率良く解くことができる。 それに加えて、Ｚを代入してそれが解か確認するだけでしょ？ 原理的には、若干の手間が増えるだけで、方程式は解くことができる。 ただし、係数にＺが使われている場合は、解けない場合が存在する。 もし、この説明でも解けると信じられないならば、例題をください。 ３元だとよく分からないと思うなら、有理数でも、実数でも構いません。 順を追って説明いたします。 回答ありがとうございました。
お礼
>「0*0=0 を捨てたら乗法ではない」も、「ただの習慣で、それ自体に理由はない」 > ことは同じですが。 従来の体の演算と異なる結果が出てくるのでは、元の演算とは呼べないというのは説得力があります。 > 二演算子系の一方の演算を加法、他方を乗法と考える根拠は、分配法則だろうと > 私は思います。環でない代数構造上で「加法」とか「乗法」とか言うこと自体が > あまりないので、「乗法」を単独で取り出した場合にその定義がどうあるべきか？には > コンセンサスは無いんじゃないかと。 あなたの思い込みという可能性が否定出来ない。 コンセンサスがないから私の意見に従え、というのもおかしな話だし。 > 「乗法」という言葉の定義は、環の定義において乗法の役割を果たしている演算のこと である。 可換でない多元体としては、四元数がある。 結合的でない多元体としては、八元数がある。 環の定義では、乗法は結合的でなければならない筈。 八元数で乗法という言葉を使うのは誤りだという主張ですね？ 回答ありがとうございました。