代数学の問題を考えているのですが、わからないので質問させていただきます

質問

代数学の問題を考えているのですが、わからないので質問させていただきます。考えているのは以下の問題です。

[問]
Snをn次対称群とする。Snの元rをr=(1 2 3 ... n)と定義し、Snの部分集合Hを、H={e,r,r^2,...,r^(n-1)}とおく。但し、eはSnの単位元である。
(1) HがSnの部分群であることを示せ。
(2) n=4のとき、SnのHによる左剰余類分解を求めよ。

(1)は、Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいいという定義を利用すればいいと思い、まずはr^n=eを示せばいいと考えているのですが、その方法がわかりません。また、この方針は正しいのでしょうか？

(2)は、Hがeを含むことから、Sn自体であり4!個の元(置換の上が(1,2,3,4)で固定、下が(1,2,3,4)の順列)の集合だと考えましたこれで正しいでしょうか？

代数学について詳しくないため、説明がおかしいところがあるとは思いますが、わかる人がいれば回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

(1)
その方針でよいようです。
群の部分集合で、群演算と逆元について閉じているものは、
部分群になります。(定義ではなく、定理だと思いますが。)
r^n = e から、r^k の逆元を直接書き出してしまったほうが
簡明でしょう。

(2)
「群Gの部分群Hに単位元eが含まれている場合、
GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」…
何でしょう？、それは。
H が部分群なら e を含むのは当然ですが、
G/H が G と同型になるとは限りません。
「群Gの部分群Hが単位元eのみからなる場合、
GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」…
とかの間違いかな？

巡回置換で同値類別するのだから、
下の行を先頭が 1 になるように巡回したもの
でも代表系に採ればよいのでは。

補足

(2)に関しては勘違いでした。

(1)なのですが、

>r^n = e から、r^k の逆元を直接書き出してしまったほうが簡明でしょう。

とありますが、r^n = e を示せば H は Sn の元 r が生成する巡回部分群であるため、H は Sn の部分群であると言うことはできないのでしょうか？

あと、r^n = e は
r^n =
[1 2 ... n]
[1 2 ... n]
= e
('['二つで一つの括弧)と言ってしまってもいいものでしょうか？

回答No.4

koko_u_u

>Hの2つの元をかけたとき、r^n=eが示されていないと、例えば
>r×r^(n-1)=r^n
>r^2×r^(n-1)=r^(n+1)
>などがHの元(r^n=e∈H、r^(n+1)=r∈H)であると示すことができないのではないのでしょうか？

そだね。ボケてたみたい。
定義に従えば容易に証明できます。

回答No.3

koko_u_u

>(1)については、r^n=eを示すことで(略)HがSnの部分群であることが言えると考えました。

考えすぎです。
自分で「Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいい」と述べているのですから
その通りすればよいだけです。

>SnのHによる左剰余類分解はSnそのものであると考えました。

まったく違います。
左剰余類の各集合をすべて挙げることから始めて下さい。
n=4なんだからすべてを列挙することができるはずです。

補足

(2)については勘違いしていたようです。考え直します。

(1)についてですが、

>自分で「Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいい」と述べているのですから
その通りすればよいだけです。

とありますが、Hの2つの元をかけたとき、r^n=eが示されていないと、例えば
r×r^(n-1)=r^n
r^2×r^(n-1)=r^(n+1)
などがHの元(r^n=e∈H、r^(n+1)=r∈H)であると示すことができないのではないのでしょうか？それとも、置換の計算の常識や置換に関連する定理などに「Hの二つの元をかけたもの及びHの元はHである」ということが言えるものがあるのでしょうか？

回答No.1

koko_u_u

>まずはr^n=eを示せばいいと考えているのですが

あなたの思考的飛躍がまったくわかりません。
自分の文章をもう一度よんで、論旨がつながっていないな、と思いません？

(2)についてもまったく正しくないと思われますが、こちらも何を言わんとしているのか理解不能です。

補足

申し訳ありません。質問が不十分でした。

(1)については、r^n=eを示すことでHがrの生成する巡回部分群であることが言え、rがSnの元であることからHがSnの部分群であることが言えると考えました。

(2)はまず置換
[1 2 3 4 ]
[i1 i2 i3 i4]
(2つの'['と']'を1つとして見てください)について、n次対称群とはi1,i2,i3,i4に1,2,3,4をかぶらないように振り分けた置換の集合であり、n=4のn次対称群は1,2,3,4の順列通り、すなわち4!通りあると解釈しています。
そして、「群Gの部分群Hに単位元eが含まれている場合、GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」ため、SnのHによる左剰余類分解はSnそのものであると考えました。